Considere os ângulos que formam um triedro. Mostre que:
(a) a medida de cada um é menor do que a soma das medidas dos outros dois;
(b) a soma das medidas deles é menor do que 360^circ.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três semi-retas saindo de um ponto O que formam um triedro, e os ângulos de plano entre cada par de semi-retas são α, β e γ. Queremos mostrar duas coisas: (a) cada um desses ângulos é menor do que a soma dos outros dois; (b) a soma dos três ângulos é menor do que 360°. Vamos usar geometria esférica, transformando o triedro num triângulo sobre a esfera unitária.

Passo 2

Interseção com a esfera unitária: considere a esfera de centro O e raio 1. Cada semi-reta corta a esfera num ponto A, B ou C. As distâncias ao longo de círculos máximos entre A, B e C são exatamente os ângulos de plano α=∠AOB, β=∠BOC e γ=∠COA.

Passo 3

Prova de (a): cada arco de círculo máximo num triângulo esférico é o caminho mais curto entre seus extremos sobre a esfera. Por exemplo, o arco AB de comprimento α é menor do que o caminho A→C→B, que tem comprimento γ+β. Logo:
α < β + γ.
Analogamente obtemos as desigualdades cíclicas para β e γ.

Passo 4

Prova de (b): se percorremos o contorno A→B→C→A, a soma dos comprimentos dos arcos é α+β+γ. Esse caminho fechado não pode dar uma volta completa em nenhum círculo máximo (que teria 360°). Portanto
[
α + β + γ < 360°
]

Resposta

Cada ângulo satisfaz
alpha
e a soma dos três é
alpha+beta+gamma<360^circ

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