Em duas tentativas de aplicar o algorítmo da divisão entre os polinômios
e
no anel
foram obtidos os seguintes resultados:
e
Qual dos resultados está correto?
Passo 1
O enunciado pede pra ver qual das duas expressões realmente satisfaz o algoritmo da divisão de polinômios em
, isto é, ao dividir
por
o resto deve ter grau menor que o grau do divisor (que é 1).
Passo 2
Vamos fazer a divisão de
por
usando Briot-Ruffini (ou escoteiro): dividendo
e raiz
. Trazendo o coeficiente 1, multiplicamos por
e somamos em cascata: obtemos quociente com coeficientes
e resto
. Isso mostra que
é a divisão correta, pois o resto
tem grau 0, menor que 1.
Passo 3
Agora, olhando a segunda expressão,
o “resto” dado é
, que tem grau 1, igual ao divisor. Isso viola o requisito do resto ter grau estritamente menor que o divisor.
Passo 4
Portanto, apenas a primeira conta está certa como resultado do algoritmo da divisão.
Resposta
O resultado correto é
.