Em duas tentativas de aplicar o algorítmo da divisão entre os polinômios X^3-2 e X+1 no anel Q[X] foram obtidos os seguintes resultados:
X^3-2=(X^2-X+1)(X+1)-3 com resto negativo
e
X^3-2=(X^2-X-2)(X+1)+3 X
Qual dos resultados está correto?

Passo 1

O enunciado pede pra ver qual das duas expressões realmente satisfaz o algoritmo da divisão de polinômios em Q[X], isto é, ao dividir X^3-2 por X+1 o resto deve ter grau menor que o grau do divisor (que é 1).

Passo 2

Vamos fazer a divisão de X^3-2 por X+1 usando Briot-Ruffini (ou escoteiro): dividendo 1,0,0,-2 e raiz -1. Trazendo o coeficiente 1, multiplicamos por -1 e somamos em cascata: obtemos quociente com coeficientes 1,-1,1 e resto -3. Isso mostra que
X^3-2 = (X^2 - X + 1)(X+1) - 3
é a divisão correta, pois o resto -3 tem grau 0, menor que 1.

Passo 3

Agora, olhando a segunda expressão,
X^3-2 = (X^2 - X - 2)(X+1) + 3X
o “resto” dado é 3X, que tem grau 1, igual ao divisor. Isso viola o requisito do resto ter grau estritamente menor que o divisor.

Passo 4

Portanto, apenas a primeira conta está certa como resultado do algoritmo da divisão.

Resposta

O resultado correto é X^3-2=(X^2 - X +1)(X+1)-3.

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