Uma reta
faz um ângulo de
com um plano
. Mostre que o ângulo que
faz com qualquer plano paralelo a
mede
.
Passo 1
Resumo: Temos uma reta r que faz um ângulo de 30° com um plano α. A tarefa é mostrar que r também faz 30° com qualquer outro plano β que seja paralelo a α. O conteúdo envolve geometria espacial e, em especial, a definição de ângulo entre reta e plano via projeção ortogonal.
Passo 2
Definição de ângulo reta-plano: O ângulo entre uma reta r e um plano α, denotado
, é definido como o ângulo agudo entre r e sua projeção ortogonal r’ sobre α. Isto significa que
, onde r’ está contida em α.
Passo 3
Considerando um plano β paralelo a α: Como α e β são paralelos, têm o mesmo vetor normal. Se projetamos ortogonalmente r em α obtemos a reta r’. Ao projetar r em β, obtemos uma outra reta r’’. Porém, projeções em planos paralelos geram retas paralelas, ou seja,
.
Passo 4
Comparando ângulos: Sabendo que
e
, e que retas paralelas geram o mesmo ângulo com uma terceira reta, concluímos que
. Logo
Como , segue que
para qualquer β paralelo a α.
Como
Resposta
30°