Uma reta r faz um ângulo de 30^circ com um plano alpha. Mostre que o ângulo que r faz com qualquer plano paralelo a alpha mede 30^circ.

Passo 1

Resumo: Temos uma reta r que faz um ângulo de 30° com um plano α. A tarefa é mostrar que r também faz 30° com qualquer outro plano β que seja paralelo a α. O conteúdo envolve geometria espacial e, em especial, a definição de ângulo entre reta e plano via projeção ortogonal.

Passo 2

Definição de ângulo reta-plano: O ângulo entre uma reta r e um plano α, denotado ang<=(r,alpha), é definido como o ângulo agudo entre r e sua projeção ortogonal r’ sobre α. Isto significa que ang<=(r,alpha)=ang<=(r,r'), onde r’ está contida em α.

Passo 3

Considerando um plano β paralelo a α: Como α e β são paralelos, têm o mesmo vetor normal. Se projetamos ortogonalmente r em α obtemos a reta r’. Ao projetar r em β, obtemos uma outra reta r’’. Porém, projeções em planos paralelos geram retas paralelas, ou seja, r'paral<=l r''.

Passo 4

Comparando ângulos: Sabendo que ang<=(r,alpha)=ang<=(r,r') e ang<=(r,beta)=ang<=(r,r''), e que retas paralelas geram o mesmo ângulo com uma terceira reta, concluímos que ang<=(r,r')=ang<=(r,r''). Logo
Como ang<=(r,alpha)=30^circ, segue que ang<=(r,beta)=30^circ para qualquer β paralelo a α.

Resposta

30°

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