Sejam K um corpo, f(X) in K[X] e a in K. Mostre que o resto da divisão de f(X) por X-a é f(a).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao dividir um polinômio f(X) sobre um corpo K pelo polinômio X - a, o resto é exatamente f(a). O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão de Polinômios e vamos precisar usar a existência de quociente e resto na divisão em K[X].

Passo 2

Pelo Teorema da Divisão em K[X], existem polinômio q(X) em K[X] e escalar r em K tais que
f(X) = (X - a),q(X) + r
e esse r é o resto da divisão. Como o divisor X - a tem grau 1, o resto tem grau menor que 1, ou seja, é um elemento de K.

Passo 3

Agora, basta avaliar a identidade acima em X = a. Substituindo, temos
f(a) = (a - a),q(a) + r = 0 cdot q(a) + r = r
Logo, o resto da divisão é r = f(a), como queríamos mostrar.

Resposta

O resto da divisão de f(X) por X - a é f(a).

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