Sejam
um corpo,
e
. Mostre que o resto da divisão de
por
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao dividir um polinômio
sobre um corpo
pelo polinômio
, o resto é exatamente
. O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão de Polinômios e vamos precisar usar a existência de quociente e resto na divisão em
.
Passo 2
Pelo Teorema da Divisão em
, existem polinômio
em
e escalar
em
tais que
e esse
é o resto da divisão. Como o divisor
tem grau 1, o resto tem grau menor que 1, ou seja, é um elemento de
.
Passo 3
Agora, basta avaliar a identidade acima em
. Substituindo, temos
Logo, o resto da divisão é
, como queríamos mostrar.
Resposta
O resto da divisão de
por
é
.