Considere a aplicação T: M2(R) R dada por T([llA11 & a12 a21 & a22])=a11+a22.
(d) Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon M2(R)toR, Tl([aij]r)=a11+a22
Queremos encontrar a imagem de T, sua dimensão e uma base dessa imagem. Para isso usaremos a definição de imagem de uma aplicação linear e as propriedades de dimensão de subespaços.

Passo 2

Analisando Tl([aij]r)=a11+a22, como a11 e a22 podem ser quaisquer números reais, a soma a11+a22 também pode ser qualquer real. Logo
Im(T)=R

Passo 3

Sendo Im(T)=R, que é de dimensão 1, concluímos
diml(Im(T)r)=1
Um gerador de R como espaço vetorial sobre si mesmo é 1. Portanto uma base de Im(T) é
1

Resposta

A imagem de T é R; sua dimensão é 1; e uma base de Im(T) é 1.

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