Considere a aplicação
dada por
.
(d) Encontre uma base e a dimensão da imagem de
.
(d) Encontre uma base e a dimensão da imagem de
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Queremos encontrar a imagem de
, sua dimensão e uma base dessa imagem. Para isso usaremos a definição de imagem de uma aplicação linear e as propriedades de dimensão de subespaços.
Passo 2
Analisando
, como
e
podem ser quaisquer números reais, a soma
também pode ser qualquer real. Logo
Passo 3
Sendo
, que é de dimensão 1, concluímos
Um gerador de
como espaço vetorial sobre si mesmo é
. Portanto uma base de
é
Resposta
A imagem de
é
; sua dimensão é
; e uma base de
é
.