Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda justificando cada ítem
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de T, se souber que T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio característico de T:
p(x)=x,(x+2)^2,(x-2)^3,(x-3)^4
As raízes são os autovalores lambda=0,-2,2,3 com multiplicidades algébricas 1,2,3,4, respectivamente. A matéria envolve autovalores, autovetores e diagonalização de operadores lineares, em particular a relação entre multiplicidade algébrica e dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Definições essenciais:
– A multiplicidade algébrica de um autovalor lambda é o expoente de (x-lambda) em p(x).
– A multiplicidade geométrica de lambda é dim Elambda, onde
Elambda = vneq0mid T(v)=lambda v
é o autoespaço associado.
Teorema: T é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor lambda a multiplicidade geométrica de lambda coincidir com sua multiplicidade algébrica.

Passo 3

Como T é dado como diagonalizável, cada multiplicidade geométrica atinge o máximo possível, isto é, iguala a multiplicidade algébrica. Logo:
dim E0=1, dim E-2=2, dim E2=3, dim E3=4

Resposta

dim E0=1,;dim E-2=2,;dim E2=3,;dim E3=4, pois em cada caso a dimensão do autoespaço coincide com a multiplicidade algébrica, requisito para diagonalização.

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