Suponha que o polinômio característico do operador linear
seja
. Responda justificando cada ítem
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de
, se souber que
é diagonalizável?
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio característico de
:
As raízes são os autovalores
com multiplicidades algébricas
, respectivamente. A matéria envolve autovalores, autovetores e diagonalização de operadores lineares, em particular a relação entre multiplicidade algébrica e dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica).
Passo 2
Definições essenciais:
– A multiplicidade algébrica de um autovalor é o expoente de
em
.
– A multiplicidade geométrica de é
, onde
– A multiplicidade algébrica de um autovalor
– A multiplicidade geométrica de
é o autoespaço associado.
Teorema: é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor
a multiplicidade geométrica de
coincidir com sua multiplicidade algébrica.
Teorema:
Passo 3
Como
é dado como diagonalizável, cada multiplicidade geométrica atinge o máximo possível, isto é, iguala a multiplicidade algébrica. Logo: