Seja L: P3(R) P3(R) definida por L(a t^3+b t^2+c t+d)=(a-b) t^3+(c-d) t.
(c) Determine uma base para N(L) e dim N(L).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Lcolon P3(R)to P3(R), Ll(a t^3+b t^2+c t+dr)=(a-b)t^3+(c-d)t
Queremos encontrar o núcleo de L, ou seja
N(L)=lpin P3(R)mid L(p)=0r,
uma base de N(L) e a sua dimensão.

Passo 2

Um polinômio genérico em
isto é, os coeficientes de e de devem ser zero. Logo obtemos o sistema
Dessa forma .

Passo 3

Substituindo b=a e d=c em p(t) temos
p(t)=a,t^3+a,t^2+c,t+c =al(t^3+t^2r)+cl(t+1r)
Portanto todo vetor de N(L) é combinação linear de ,t^3+t^2 e de t+1.

Passo 4

Como t^3+t^2,,t+1 são linearmente independentes e geram N(L), elas formam uma base de N(L). O número de vetores nessa base é
dim N(L)=2

Resposta

Uma base de N(L) é
l,t^3+t^2,,t+1r,
e dim N(L)=2.

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