Sejam S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(y, x) e T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x, y). Geometricamente, S e T produzem reflexões em relação às retas y=x e x=0 respectivamente. Determine:
(c) (S circ T)(x, y) e interprete geometricamente

Passo 1

O enunciado define duas reflexões em R^2:
T é a reflexão em torno da reta x=0 (eixo y):
T(x,y)=(-x,y)
S é a reflexão em torno da reta y=x:
S(x,y)=(y,x)
Pede-se o mapa composto Scirc T e sua interpretação geométrica. Para isso, vamos aplicar primeiro T e depois S, e em seguida identificar qual transformação resultante obtivemos.

Passo 2

Aplicando T e depois S em (x,y) temos
T(x,y)=(-x,y),
então
(Scirc T)(x,y)=Sl(T(x,y)r)=S(-x,y)=(y,,-x)

Passo 3

O efeito (x,y)mapsto(y,-x) é precisamente uma rotação de 90^circ no sentido horário (ou seja, ângulo de -90^circ) em torno da origem. Geometricamente, a composição de duas reflexões cujas retas formam ângulo de 45^circ produz uma rotação de 2cdot45^circ=90^circ.

Resposta

(Scirc T)(x,y)=(y,-x), que corresponde a uma rotação de 90^circ no sentido horário em torno da origem.

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