Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
(b) Determine a matriz da transformação com respeito à base canônica de R^3

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3toR^3
com
T(1,0,1) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,0,-1), T(0,1,1) = (0,0,1)
Queremos a matriz de T na base canônica
,e1=(1,0,0),,e2=(0,1,0),,e3=(0,0,1).
Para isso, basta achar T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 2

Reconhecemos imediatamente que
T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,-1)

Passo 3

Usamos linearidade em (0,1,1)=e2+e3:
T(0,1,1)=T(e2+e3) =T(e2)+T(e3)=(1,0,-1)+T(e3)
e como T(0,1,1)=(0,0,1), segue
T(e3)=(0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2)

Passo 4

Usamos linearidade em (1,0,1)=e1+e3:
T(1,0,1)=T(e1+e3) =T(e1)+T(e3)=(1,1,0)
Como T(e3)=(-1,0,2), obtemos
T(e1)=(1,1,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2)

Passo 5

Na base canônica a matriz de T tem colunas ,T(e1),T(e2),T(e3), ou seja,
A = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2

Resposta

2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2

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