Considere a aplicação T: R^4 longrightarrow R dada por T(x, y, z, w)=x+t.
Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:R^4toR definida por
T(x,y,z,t)=x+t
O conteúdo aqui é imagem (ou rango) de uma aplicação linear, base e dimensão de subespaços.

Passo 2

A imagem de T é
Im(T)=,x+t mid (x,y,z,t)inR^4
Como x e t variam livremente em R, a soma x+t também percorre todo R. Logo
Im(T)=R

Passo 3

Para R visto como espaço vetorial sobre si mesmo, uma base natural é
,1,
pois qualquer escalar rinR pode ser escrito como rcdot 1.

Passo 4

A dimensão de Im(T) é o número de vetores em sua base. Como usamos um único vetor,
dim(Im(T))=1

Resposta

Uma base para Im(T) é 1 e dim(Im(T))=1.

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