Seja
o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3 , e
dado por
.
Mostre que
é uma transformação linear.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
como o espaço dos polinômios de grau
e a aplicação
por
onde
é a derivada de
. Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades:
. Aditividade:
para todo
.
. Homogeneidade:
para todo escalar
e todo
.
Passo 2
Verificamos a aditividade. Sejam
. Então
Aqui usamos a propriedade básica da derivada de soma de funções.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade. Seja
e
. Então
Isso segue da regra da constante fator na derivada.
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear.