Seja P3(R) o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3 , e T: P3(R) P2(R) dado por T(f)=f^prime com f in P3(R).
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define P3(R) como o espaço dos polinômios de grau <=3 e a aplicação Tcolon P3(R) to P2(R) por
T(f) = f',
onde f' é a derivada de f. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades:
1. Aditividade: T(f+g)=T(f)+T(g) para todo f,gin P3(R).
2. Homogeneidade: T(alpha f)=alpha,T(f) para todo escalar alpha e todo fin P3(R).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam f,gin P3(R). Então
T(f+g) = (f+g)' = f' + g' = T(f) + T(g)
Aqui usamos a propriedade básica da derivada de soma de funções.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja alphainR e fin P3(R). Então
T(alpha f) = (alpha f)' = alpha,f' = alpha,T(f)
Isso segue da regra da constante fator na derivada.

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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