Considere a aplicação T: R^4 longrightarrow R dada por T(x, y, z, w)=x+t.
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado considera a aplicação
Tcolon R^4 to R,
definida por
T(x,y,z,t) = x + t
O conteúdo aqui é transformação linear em espaços vetoriais: para mostrar que T é linear, vamos usar a definição, que pede verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,vinR^4 e qualquer escalar alpha:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (adição preservada).
  2. T(alpha,u)=alpha,T(u) (multiplicação escalar preservada).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam
u = (x1,y1,z1,t1), v = (x2,y2,z2,t2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2)
e, aplicando T,
T(u+v) = (x1+x2) + (t1+t2) = (x1 + t1) + (x2 + t2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja alphainR. Para
u = (x1,y1,z1,t1)
temos
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1,;alpha t1),
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T(alpha,u) = alpha x1 + alpha t1 = alpha,(x1 + t1) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, concluímos que T é de fato linear.

Resposta

A aplicação T(x,y,z,t)=x+t é uma transformação linear.

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