Considere a aplicação
dada por
.
Mostre que
é uma transformação linear.
Mostre que
Passo 1
O enunciado considera a aplicação
definida por
O conteúdo aqui é transformação linear em espaços vetoriais: para mostrar que
é linear, vamos usar a definição, que pede verificar duas propriedades para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
-
(adição preservada). -
(multiplicação escalar preservada).
Passo 2
Verificação da aditividade.
Sejam
Sejam
Então
e, aplicando
,
Passo 3
Verificação da homogeneidade.
Seja . Para
Seja
temos
logo
Passo 4
Como
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato linear.
Resposta
A aplicação
é uma transformação linear.