Seja P3(R) o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3 , e T: P3(R) P2(R) dado por T(f)=f^prime com f in P3(R).
Determine o núcleo e a imagem de T e encontre uma base para cada um destes subespaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado define o espaço P3(R) e a aplicação linear
Tcolon P3(R) to P2(R)
dada por
T(f)=f',
ou seja, T leva cada polinômio ao seu polinômio derivada. Queremos encontrar ker(T), Im(T) e bases para esses subespaços.

Passo 2

Para determinar ker(T) precisamos achar todos os fin P3(R) tais que T(f)=f'=0. Escrevendo
f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d,
temos
f'(x)=3a x^2 + 2b x + c
Para f'(x)equiv0 devemos ter 3a=0, 2b=0 e c=0, ou seja a=b=c=0. Logo
ker(T)=,dinR=,polinômios constantes ô
Uma base natural é 1.

Passo 3

Para encontrar Im(T) note que um polinômio genérico de P2(R) tem a forma
g(x)=u x^2 + v x + w
Queremos ver se existe fin P3(R) tal que f'=g. Basta integrar:
f(x)=integral g(x),dx=u3x^3 + v2x^2 + w x + hboxconstante,
que pertence a P3(R). Assim todo gin P2(R) é imagem de algum f. Portanto
Im(T)=P2(R)
Uma base padrão é 1,;x,;x^2.

Resposta

ker(T)=span1, Im(T)=P2(R)=span1,x,x^2

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