Seja
o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3 , e
dado por
.
Determine o núcleo e a imagem de
e encontre uma base para cada um destes subespaços vetoriais.
Determine o núcleo e a imagem de
Passo 1
O enunciado define o espaço
e a aplicação linear
dada por
ou seja,
leva cada polinômio ao seu polinômio derivada. Queremos encontrar
,
e bases para esses subespaços.
Passo 2
Para determinar
precisamos achar todos os
tais que
. Escrevendo
temos
Para
devemos ter
,
e
, ou seja
. Logo
Uma base natural é
.
Passo 3
Para encontrar
note que um polinômio genérico de
tem a forma
Queremos ver se existe
tal que
. Basta integrar:
que pertence a
. Assim todo
é imagem de algum
. Portanto
Uma base padrão é
.