Considere a aplicação T: R^4 longrightarrow R dada por T(x, y, z, w)=x+t.
Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
Tcolon R^4toR,
definida por T(x,y,z,w)=x+t, mas como o quarto componente do vetor é w, vamos interpretar que essa letra t era para ser w. Logo
T(x,y,z,w)=x+w
Queremos determinar o núcleo de T, isto é, o conjunto
ker(T)=(x,y,z,w)inR^4mid T(x,y,z,w)=0,
e então encontrar uma base de ker(T) e sua dimensão.

Passo 2

Para entrar em ker(T) precisamos de
T(x,y,z,w)=0 Long<=ftrightarrow x+w=0
Isso nos dá a relação entre as coordenadas de qualquer vetor do núcleo.

Passo 3

Da equação x+w=0 segue
x=-w
Isso mostra que y e z são livres, e também w é livre. Podemos usar y, z e w como parâmetros.

Passo 4

Escrevendo o vetor genérico em função dos parâmetros y,z,w, temos
(x,y,z,w) =( -w,;y,;z,;w ) = w,(-1,0,0,1) + y,(0,1,0,0) + z,(0,0,1,0)

Passo 5

Os vetores que aparecem como coeficientes de w, y e z formam um sistema gerador de ker(T), e como são visivelmente linearmente independentes, eles constituem uma base:
,(-1,0,0,1),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0)

Passo 6

Como a base escolhida tem 3 vetores, a dimensão de ker(T) é 3.

Resposta

Uma base de ker(T) é
,(-1,0,0,1),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0),
e dim(ker(T))=3.

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