Considere a aplicação
dada por
.
Encontre uma base e a dimensão do núcleo de
.
Encontre uma base e a dimensão do núcleo de
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
definida por
, mas como o quarto componente do vetor é
, vamos interpretar que essa letra
era para ser
. Logo
Queremos determinar o núcleo de
, isto é, o conjunto
e então encontrar uma base de
e sua dimensão.
Passo 2
Para entrar em
precisamos de
Isso nos dá a relação entre as coordenadas de qualquer vetor do núcleo.
Passo 3
Da equação
segue
Isso mostra que
e
são livres, e também
é livre. Podemos usar
,
e
como parâmetros.
Passo 4
Escrevendo o vetor genérico em função dos parâmetros
, temos
Passo 5
Os vetores que aparecem como coeficientes de
,
e
formam um sistema gerador de
, e como são visivelmente linearmente independentes, eles constituem uma base:
Passo 6
Como a base escolhida tem
vetores, a dimensão de
é
.
Resposta
Uma base de
é
e
.