Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
em
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para verificar se isso é produto interno. Para isso precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria trocando os pares:
Logo a aplicação é simétrica.
Passo 3
Para bilinearidade basta notar que cada termo é da forma constante vezes
, o que garante linearidade em cada componente. Por exemplo, para soma no segundo argumento,
e semelhante para multiplicação por escalar. Como a forma é simétrica, a linearidade no primeiro argumento também vale.
Passo 4
Calculamos o “norma ao quadrado” de um vetor
:
Contudo,
sempre que
, mesmo se
. Logo a positividade definida falha.
Resposta
A aplicação não é produto interno, pois não satisfaz a condição de positividade definida.