Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1-x1 y2-x2 y1+x2 y2 em V=R^2

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a aplicação
lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<= ;=;x1y1;-;x1y2;-;x2y1;+;x2y2,
e pede para verificar se isso é produto interno. Para isso precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria trocando os pares:
lang<= (y1,y2),,(x1,x2)rang<= = y1x1-y1x2-y2x1+y2x2 = x1y1-x1y2-x2y1+x2y2 =lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<=
Logo a aplicação é simétrica.

Passo 3

Para bilinearidade basta notar que cada termo é da forma constante vezes xi yj, o que garante linearidade em cada componente. Por exemplo, para soma no segundo argumento,
lang<= (x1,x2),,(y1+y1',,y2+y2')rang<= =lang<= (x1,x2),,(y1,y2)rang<= +lang<= (x1,x2),,(y1',y2')rang<=,
e semelhante para multiplicação por escalar. Como a forma é simétrica, a linearidade no primeiro argumento também vale.

Passo 4

Calculamos o “norma ao quadrado” de um vetor v=(x1,x2):
lang<= v,vrang<= = x1^2-2x1x2+x2^2 =(x1-x2)^2>=0
Contudo, lang<= v,vrang<==0 sempre que x1=x2, mesmo se vneq(0,0). Logo a positividade definida falha.

Resposta

A aplicação não é produto interno, pois não satisfaz a condição de positividade definida.

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