a) Mostre que .
b) Dada a base de determine a matriz
c) Dado determine .
d) Dada a base do item (b) e o polinômio do item (c) temos . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve polinômios de segundo grau e aplicações lineares, que fazem parte da disciplina de Álgebra Linear. Precisamos entender como funcionam as aplicações lineares e como representá-las com matrizes, além de trabalhar com integrais de funções polinomiais para calcular a aplicação dada.
Passo 2
Item a) Queremos mostrar que pertence ao espaço dual . Basicamente, o espaço dual consiste em todas as aplicações lineares que levam os polinômios de para os reais .
Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação é linear se satisfaz duas propriedades:
Aditividade: para quaisquer .
Homogeneidade: para qualquer escalar e .
Vamos verificar essas propriedades para :
Aditividade:
Homogeneidade:
Como satisfaz ambas as propriedades, ela é uma aplicação linear. Portanto, .
Passo 3
Item b) Agora, vamos determinar a matriz de na base . Para isso, precisamos calcular aplicada a cada um dos vetores da base.
Vamos calcular para cada base:
Agora, a matriz é uma linha com os valores de aplicados a cada base:
A aplicação varphi é linear e sua matriz na base B é 13 & 14 & 15 . Além disso, para o polinômio p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2, temos varphi(p(t)) = a03 + a14 + a25 e [varphi]B cdot [p(t)]B = a03 + a14 + a25.