Considere V=P2(R) e a aplicação varphi: P2(R) R dada por
varphi(p(t))=integral0^1 p(t) t^2 d t
a) Mostre que varphi in(P2(R))^*.
b) Dada a base B=1, t, t^2 de P2(R) determine a matriz [varphi]B
c) Dado p(t)=a0+a1 t+a2 t^2 determine varphi(p(t)).
d) Dada a base do item (b) e o polinômio do item (c) temos [p(t)]B=[llla0 & a1 & a2]B. Determine [varphi]B cdot[p(t)]B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve polinômios de segundo grau e aplicações lineares, que fazem parte da disciplina de Álgebra Linear. Precisamos entender como funcionam as aplicações lineares e como representá-las com matrizes, além de trabalhar com integrais de funções polinomiais para calcular a aplicação dada.

Passo 2

Item a) Queremos mostrar que varphi pertence ao espaço dual (P2(R))^*. Basicamente, o espaço dual consiste em todas as aplicações lineares que levam os polinômios de P2(R) para os reais R.
Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação varphi é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: varphi(p(t) + q(t)) = varphi(p(t)) + varphi(q(t)) para quaisquer p(t), q(t) in P2(R).
  2. Homogeneidade: varphi(c cdot p(t)) = c cdot varphi(p(t)) para qualquer escalar c in R e p(t) in P2(R).
Vamos verificar essas propriedades para varphi(p(t)) = integral0^1 p(t) t^2 dt:
  • Aditividade:
varphi(p(t) + q(t)) = integral0^1 (p(t) + q(t)) t^2 dt = integral0^1 p(t) t^2 dt + integral0^1 q(t) t^2 dt = varphi(p(t)) + varphi(q(t))
  • Homogeneidade:
varphi(c cdot p(t)) = integral0^1 (c cdot p(t)) t^2 dt = c cdot integral0^1 p(t) t^2 dt = c cdot varphi(p(t))
Como varphi satisfaz ambas as propriedades, ela é uma aplicação linear. Portanto, varphi in (P2(R))^*.

Passo 3

Item b) Agora, vamos determinar a matriz de varphi na base B = 1, t, t^2. Para isso, precisamos calcular varphi aplicada a cada um dos vetores da base.
Vamos calcular varphi para cada base:
  1. varphi(1) = integral0^1 1 cdot t^2 dt = integral0^1 t^2 dt = [t^33]0^1 = 13
  2. varphi(t) = integral0^1 t cdot t^2 dt = integral0^1 t^3 dt = [t^44]0^1 = 14
  3. varphi(t^2) = integral0^1 t^2 cdot t^2 dt = integral0^1 t^4 dt = [t^55]0^1 = 15
Agora, a matriz [varphi]B é uma linha com os valores de varphi aplicados a cada base:
[varphi]B = 13 & 14 & 15

Passo 4

Item c) Vamos determinar varphi(p(t)) para o polinômio p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2.
Usando a definição de varphi:
varphi(p(t)) = integral0^1 (a0 + a1 t + a2 t^2) t^2 dt
Vamos distribuir t^2:
varphi(p(t)) = integral0^1 a0 t^2 + a1 t^3 + a2 t^4 dt
Agora, calculamos a integral termo a termo:
varphi(p(t)) = a0 integral0^1 t^2 dt + a1 integral0^1 t^3 dt + a2 integral0^1 t^4 dt
Calculando cada integral:
integral0^1 t^2 dt = 13, integral0^1 t^3 dt = 14, integral0^1 t^4 dt = 15
Substituindo:
varphi(p(t)) = a0 cdot 13 + a1 cdot 14 + a2 cdot 15 = a03 + a14 + a25

Passo 5

Item d) Agora, precisamos determinar o produto [varphi]B cdot [p(t)]B.
Sabemos que:
[varphi]B = 13 & 14 & 15 , [p(t)]B = a0 a1 a2
O produto é:
[varphi]B cdot [p(t)]B = 13 cdot a0 + 14 cdot a1 + 15 cdot a2 = a03 + a14 + a25

Resposta

A aplicação varphi é linear e sua matriz na base B é 13 & 14 & 15 . Além disso, para o polinômio p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2, temos varphi(p(t)) = a03 + a14 + a25 e [varphi]B cdot [p(t)]B = a03 + a14 + a25.

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