Seja B=(1,0,-1),(1,1,1),(2,2,0) uma base de R^3. Encontre a base dual B^*=f1, f2, f3 de (R^3)^*

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base B = (1,0,-1), (1,1,1), (2,2,0) de R^3, e a tarefa é encontrar a base dual B^* = f1, f2, f3 de (R^3)^*. Basicamente, a base dual é um conjunto de aplicações lineares que “se comportam” de forma especial em relação à base original. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e espaços duals, mas vou explicar tudo passo a passo para ficar tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Dada uma base B = v1, v2, v3 de R^3, a base dual B^* é composta por aplicações lineares f1, f2, f3 que satisfazem fi(vj) = de<aij, onde de<aij é o delta de Kronecker (1 se i = j e 0 caso contrário). Isso significa que cada funçãoção pega um vetor da base original e retorna 1 se for o correspondente ou 0 se for diferente.

Passo 3

Para encontrar essas funções lineares f1, f2, f3, vamos primeiro representar as funções como vetores. Em R^3, uma aplicação linear pode ser representada por um vetor f = (a, b, c), e a aplicação de f a um vetor v = (x, y, z) é dada pelo produto escalar:
f(v) = a x + b y + c z
Nosso objetivo é encontrar os vetores f1, f2, f3 que satisfazem fi(vj) = de<aij.

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para cada fi. Primeiro, vamos listar os vetores da base B:
v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (2, 2, 0)
Agora, para f1, queremos que:
f1(v1) = 1, f1(v2) = 0, f1(v3) = 0
Substituindo na expressão do produto escalar:
a1 cdot 1 + b1 cdot 0 + c1 cdot (-1) = 1 a1 cdot 1 + b1 cdot 1 + c1 cdot 1 = 0 a1 cdot 2 + b1 cdot 2 + c1 cdot 0 = 0
Isso nos dá o seguinte sistema:
a1 - c1 = 1 a1 + b1 + c1 = 0 2a1 + 2b1 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar a1, b1, c1.
Da terceira equação:
2a1 + 2b1 = 0 implies a1 + b1 = 0 implies b1 = -a1
Substituindo b1 = -a1 na segunda equação:
a1 + (-a1) + c1 = 0 implies c1 = 0
Agora, substituindo c1 = 0 na primeira equação:
a1 - 0 = 1 implies a1 = 1 b1 = -1
Então, temos:
f1 = (1, -1, 0)

Passo 6

Agora, vamos encontrar f2 fazendo algo similar. Queremos:
f2(v1) = 0, f2(v2) = 1, f2(v3) = 0
Escrevendo as equações:
a2 cdot 1 + b2 cdot 0 + c2 cdot (-1) = 0 a2 cdot 1 + b2 cdot 1 + c2 cdot 1 = 1 a2 cdot 2 + b2 cdot 2 + c2 cdot 0 = 0
Isso resulta no sistema:
a2 - c2 = 0 a2 + b2 + c2 = 1 2a2 + 2b2 = 0

Passo 7

Vamos resolver este sistema. Da terceira equação:
2a2 + 2b2 = 0 implies a2 + b2 = 0 implies b2 = -a2
Substituindo b2 = -a2 na segunda equação:
a2 + (-a2) + c2 = 1 implies c2 = 1
Agora, substituindo c2 = 1 na primeira equação:
a2 - 1 = 0 implies a2 = 1 b2 = -1
Então, temos:
f2 = (1, -1, 1)

Passo 8

Por fim, vamos encontrar f3. Queremos:
f3(v1) = 0, f3(v2) = 0, f3(v3) = 1
Escrevendo as equações:
a3 cdot 1 + b3 cdot 0 + c3 cdot (-1) = 0 a3 cdot 1 + b3 cdot 1 + c3 cdot 1 = 0 a3 cdot 2 + b3 cdot 2 + c3 cdot 0 = 1
Isso nos dá o sistema:
a3 - c3 = 0 a3 + b3 + c3 = 0 2a3 + 2b3 = 1

Passo 9

Vamos resolver este sistema. Da primeira equação:
a3 = c3
Substituindo a3 = c3 na segunda equação:
c3 + b3 + c3 = 0 implies b3 + 2c3 = 0 implies b3 = -2c3
Agora, substituindo a3 = c3 e b3 = -2c3 na terceira equação:
2c3 + 2(-2c3) = 1 implies 2c3 - 4c3 = 1 implies -2c3 = 1 implies c3 = -12 a3 = -12 b3 = -2 cdot (-12) = 1
Então, temos:
f3 = (-12,, 1,, -12)

Resposta

A base dual B^* de (R^3)^* é:
B^* = , f1 = (1, -1, 0), f2 = (1, -1, 1), f3 = (-12,, 1, -12) ,

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