Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base de , e a tarefa é encontrar a base dual de . Basicamente, a base dual é um conjunto de aplicações lineares que “se comportam” de forma especial em relação à base original. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e espaços duals, mas vou explicar tudo passo a passo para ficar tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Dada uma base de , a base dual é composta por aplicações lineares que satisfazem , onde é o delta de Kronecker (1 se e 0 caso contrário). Isso significa que cada funçãoção pega um vetor da base original e retorna 1 se for o correspondente ou 0 se for diferente.
Passo 3
Para encontrar essas funções lineares , vamos primeiro representar as funções como vetores. Em , uma aplicação linear pode ser representada por um vetor , e a aplicação de a um vetor é dada pelo produto escalar:
Nosso objetivo é encontrar os vetores que satisfazem .
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações para cada . Primeiro, vamos listar os vetores da base :
Agora, para , queremos que:
Substituindo na expressão do produto escalar:
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar a1, b1, c1.