Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=e^x^2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = e^x^2 y . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas em funções de várias variáveis, aplicando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável, como f(x, y) , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis é o quanto a função muda quando só alteramos essa variável, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x , que a gente denota por partial fpartial x . A função é e^x^2 y . Aqui, o expoente x^2 y também depende de x , então precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos que derivar a função externa e^u em relação a u e multiplicar pela derivada de u em relação a x , onde u = x^2 y . Então:
partial fpartial x = e^x^2 y cdot partialpartial x(x^2 y)

Passo 5

Agora, vamos derivar x^2 y em relação a x . Como y é tratado como uma constante quando derivamos em relação a x :
partialpartial x(x^2 y) = y cdot partialpartial x(x^2) = y cdot 2x = 2xy

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = e^x^2 y cdot 2xy = 2xy cdot e^x^2 y

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é partial fpartial y . Novamente, nossa função é e^x^2 y . Aqui, o expoente x^2 y depende de y , então usamos a regra da cadeia novamente.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = e^x^2 y cdot partialpartial y(x^2 y)

Passo 9

Vamos derivar x^2 y em relação a y . Como x é tratado como constante em relação a y :
partialpartial y(x^2 y) = x^2 cdot partialpartial y(y) = x^2 cdot 1 = x^2

Passo 10

Substituindo essa derivada na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = e^x^2 y cdot x^2 = x^2 cdot e^x^2 y

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = e^x^2 y são:
partial fpartial x = 2xy cdot e^x^2 y
e
partial fpartial y = x^2 cdot e^x^2 y

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