Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas em funções de várias variáveis, aplicando a regra da cadeia quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável, como
, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis é o quanto a função muda quando só alteramos essa variável, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. A função é
. Aqui, o expoente
também depende de
, então precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, temos que derivar a função externa
em relação a
e multiplicar pela derivada de
em relação a
, onde
. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
:
Passo 6
Substituindo essa derivada de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, nossa função é
. Aqui, o expoente
depende de
, então usamos a regra da cadeia novamente.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 9
Vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como constante em relação a
:
Passo 10
Substituindo essa derivada na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e