Seja P1(R) polinômios de grau até 1 com coeficientes reais. Considere a base B=1, t. Mostre que a base dual B^* é dada por B^*=f1, f2, onde f1(p(t))=p(0) e f2(p(t))=p^prime(0).

Passo 1

O enunciado fala do espaço P1(R) dos polinômios de grau <=1 com coeficientes reais. A base escolhida é
B=b1,b2=1,t.
Queremos mostrar que a base dual B^*=f1,f2 definida por
f1(p)=p(0), f2(p)=p'(0)
satisfaz a condição de dualidade.

Passo 2

Lembremos a definição de base dual: se B=b1,b2 é uma base de V, a base dual B^*=f1,f2subset V^* é caracterizada por
fi(bj) = de<aij,
onde de<aij é o delta de Kronecker ( de<aij=1 se i=j, e 0 caso contrário).

Passo 3

Calculamos f1 sobre os vetores de B:
f1(b1) = f1(1) = 1(0) = 1, f1(b2) = f1(t) = tl|t=0 = 0
Logo f1(1)=1 e f1(t)=0, ou seja, f1(bj)=de<a1j.

Passo 4

Agora f2:
f2(b1) = f2(1) = (1)'(0) = 0, f2(b2) = f2(t) = (t)'(0) = 1
Portanto f2(1)=0 e f2(t)=1, isto é, f2(bj)=de<a2j.

Passo 5

Como ambos satisfazem fi(bj)=de<aij, concluímos que f1,f2 é exatamente a base dual de 1,t. Além disso, para um polinômio genérico p(t)=a+bt temos
f1(p)=p(0)=a, f2(p)=p'(0)=b,
o que mostra também a correspondência canônica entre coeficientes e funcionais da base dual.

Resposta

A base dual de 1,t é
B^*=,f1,f2,
onde
f1(p(t))=p(0), f2(p(t))=p'(0)

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