Seja
polinômios de grau até 1 com coeficientes reais. Considere a base
. Mostre que a base dual
é dada por
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado fala do espaço
dos polinômios de grau
com coeficientes reais. A base escolhida é
.
Queremos mostrar que a base dual definida por
Queremos mostrar que a base dual
satisfaz a condição de dualidade.
Passo 2
Lembremos a definição de base dual: se
é uma base de
, a base dual
é caracterizada por
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e
caso contrário).
Passo 3
Calculamos
sobre os vetores de
:
Logo
f1(1)=1 e
f1(t)=0 , ou seja,
f1(bj)=de<a1j .
Passo 4
Agora
f2 :
Portanto
f2(1)=0 e
f2(t)=1 , isto é,
f2(bj)=de<a2j .
Passo 5
Como ambos satisfazem
fi(bj)=de<aij , concluímos que
f1,f2 é exatamente a base dual de
1,t . Além disso, para um polinômio genérico
p(t)=a+bt temos
o que mostra também a correspondência canônica entre coeficientes e funcionais da base dual.
Resposta
A base dual de
1,t é
onde