Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
  • Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
  • Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
  • Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
    T: M2(R) longrightarrow M2(R) dada por T(lla & b c & d)=(lla+b & c-d c-d & b-a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de transformações lineares envolvendo matrizes 2x2. A gente vai trabalhar com a transformação T: M2(R) M2(R) definida por:
T(ll a & b c & d ) = (ll a+b & c-d c-d & b-a )
O que precisamos fazer:
  1. Determinar o núcleo (kernel) de T : Encontrar todas as matrizes que são mapeadas para a matriz zero, uma base para esse núcleo e sua dimensão. Também vamos verificar se T é injetora.
  2. Determinar a imagem (imagem) de T : Encontrar todas as matrizes que podem ser obtidas através de T , uma base para essa imagem e sua dimensão. Também vamos verificar se T é sobrejetora.
  3. Verificar quais vetores pertencem ao núcleo de T na letra b: Identificar se os vetores dados estão no núcleo encontrado no passo anterior.
Para isso, vamos precisar lembrar de conceitos como núcleo, imagem, bases, dimensões, injetividade e sobrejetividade em transformações lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Encontrando o Núcleo de T :
O núcleo de T é o conjunto de todas as matrizes a & b c & d que, quando aplicamos T , resultam na matriz zero:
T(ll a & b c & d ) = (ll a+b & c-d c-d & b-a ) = (ll 0 & 0 0 & 0 )
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. a + b = 0
  2. c - d = 0
  3. c - d = 0 (repetida)
  4. b - a = 0
Vamos simplificar esse sistema:
Da equação 1: a = -b
Da equação 2: c = d
Da equação 4: b = a
Mas da equação 1, a = -b , então substituindo na equação 4:
b = -b 2b = 0 b = 0 a = 0
Então, temos:
a = 0
b = 0
c = d
Portanto, as matrizes no núcleo têm a forma:
0 & 0 c & c = c 0 & 0 1 & 1
Isso significa que o núcleo é gerado pela matriz 0 & 0 1 & 1 .

Passo 3

Base e Dimensão do Núcleo:
Já identificamos que o núcleo é composto por todas as matrizes que são múltiplos escalares da matriz 0 & 0 1 & 1 . Então, uma base para o núcleo é simplesmente essa única matriz:
0 & 0 1 & 1
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que nesse caso é 1.
Verificando se T é Injetora:
Uma transformação linear é injetora se o núcleo contém somente a matriz zero. Aqui, vimos que o núcleo contém infinitas matrizes da forma c 0 & 0 1 & 1 , ou seja, além da matriz zero. Portanto, T não é injetora.

Passo 4

Encontrando a Imagem de T :
A imagem de T é o conjunto de todas as matrizes T(M) onde M varia sobre M2(R) . Ou seja:
Im(T) = (ll a+b & c-d c-d & b-a ) ,g|, a, b, c, d in R
Vamos tentar expressar isso de uma forma mais simples. Seja uma matriz genérica na imagem:
a+b & c-d c-d & b-a = a 1 & 0 0 & -1 + b 1 & 0 0 & 1 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & -1 -1 & 0
Podemos ver que a imagem é gerada por três matrizes diferentes:
  1. 1 & 0 0 & -1
  2. 1 & 0 0 & 1
  3. 0 & 1 1 & 0
Vamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes para formar uma base.

Passo 5

Base e Dimensão da Imagem:
Para verificar a linearidade, consideramos uma combinação linear igual a zero:
k1 1 & 0 0 & -1 + k2 1 & 0 0 & 1 + k3 0 & 1 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta no sistema:
  1. k1 + k2 = 0 (posição (1,1))
  2. k3 = 0 (posição (1,2))
  3. k1 - k2 = 0 (posição (2,2))
Da equação 2: k3 = 0
Da equação 1: k1 = -k2
Da equação 3: k1 = k2
Portanto, k1 = k2 = 0 . Isso mostra que as matrizes são linearmente independentes.
Então, uma base para a imagem é:
1 & 0 0 & -1 , 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 1 & 0
A dimensão da imagem é 3.
Verificando se T é Sobrejetora:
Para que T seja sobrejetora, a imagem de T deve ser todo o espaço M2(R) , que tem dimensão 4. Como a dimensão da imagem é 3, T não é sobrejetora.

Passo 6

Verificando os Vetores no Núcleo de T :
Agora, vamos verificar quais dos vetores (1,-1,1) , (0,0,0) e (-3,3,3) pertencem ao núcleo de T .
Lembrando que o núcleo de T é:
0 & 0 c & c ,g|, c in R
Vamos interpretar os vetores como possíveis representações dos elementos do núcleo. Supondo que os vetores representam as entradas (a, b, c) , já que a matriz no núcleo tem a = 0 , b = 0 , e c = d .
Vamos verificar cada vetor:
  1. (1, -1, 1) :
    • a = 1 , b = -1 , c = 1
    • No núcleo, a e b devem ser zero, mas aqui não são.
    • Não pertence ao núcleo.
  2. (0, 0, 0) :
    • a = 0 , b = 0 , c = 0
    • Isso corresponde à matriz zero, que está no núcleo.
    • Pertence ao núcleo.
  3. (-3, 3, 3) :
    • a = -3 , b = 3 , c = 3
    • a e b devem ser zero, mas aqui não são.
    • Não pertence ao núcleo.

Resposta

A única matriz que pertence ao núcleo de T é o vetor (0,0,0) .

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