Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. é injetora? Justifique.
Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
Quais dos seguintes vetores pertencem ao núcleo de na letra b. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que vai de matrizes de números reais para polinômios de grau até 3. Nosso objetivo é:
Encontrar o núcleo de , uma base para ele, sua dimensão e ver se é injetora.
Encontrar a imagem de , uma base para ela, sua dimensão e ver se é sobrejetora.
Verificar quais dos vetores , , e estão no núcleo de .
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, como encontrar bases e dimensões desses espaços, e os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todas as matrizes tais que , onde é o polinômio nulo.
Então, queremos resolver a equação:
Isso significa que todos os coeficientes do polinômio devem ser iguais a zero:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b, c, d .
Da segunda equação, b = 0 .
Da quarta equação, c = 0 .
Substituindo b = 0 e c = 0 na primeira equação:
a + 0 + 0 = 0 implies a = 0
E da terceira equação, a + d = 0 . Como a = 0 , então d = 0 .
Passo 4
Então, a única solução é a = b = c = d = 0 . Isso significa que o núcleo de T é apenas a matriz nula:
Núc<=o(T) = ll0 & 0 0 & 0 ú
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só temos a matriz nula, e a dimensão do núcleo é 0.
Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, T é injetora. Isso porque uma transformação linear é injetora se e só se o núcleo contém apenas o vetor nulo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem de T é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando T a alguma matriz 2 times 2 .
Para encontrar a imagem, vamos expressar T de forma mais clara:
T(lla & b c & d) = (a + b + c) + b x + (a + d) x^2 + c x^3
Podemos reescrever isso como uma combinação linear dos coeficientes:
= a(1 + x^2) + b(1 + x) + c(1 + x^3) + d x^2
Mas como já temos que d = -a no núcleo, para a imagem, d é livre, então podemos agrupar:
= a(1 + x^2) + b(1 + x) + c(1 + x^3) + d x^2
No entanto, para encontrar uma base, vamos considerar as combinações lineares possíveis. Observando os termos, vemos que os polinômios gerados são combinações de 1 , x , x^2 e x^3 . Portanto, a imagem de T é todo o espaço P3(R) , já que podemos alcançar qualquer polinômio de grau até 3.
A dimensão da imagem é, então, 4, pois temos quatro polinômios base independentes.
Como a imagem de T é todo P3(R) , T é sobrejetora.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar quais dos vetores (1,-1,1) , (0,0,0) , e (-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
Mas na letra b, encontramos que o núcleo de T é apenas a matriz nula. Portanto, somente o vetor (0,0,0) está no núcleo.
Resposta
Núcleo de T é apenas a matriz nula, base vazia e dimensão 0. T é injetora.
Imagem de T é todo P3(R) , base 1, x, x^2, x^3 e dimensão 4. T é sobrejetora.