Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
  • Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
  • Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
  • Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
    T: M2(R) longrightarrow P3(R) dada por T(lla & b c & d)=a+b+c+b x++(a+d) x^2+c x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T que vai de matrizes 2 times 2 de números reais para polinômios de grau até 3. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o núcleo de T , uma base para ele, sua dimensão e ver se T é injetora.
  2. Encontrar a imagem de T , uma base para ela, sua dimensão e ver se T é sobrejetora.
  3. Verificar quais dos vetores (1,-1,1) , (0,0,0) , e (-3,3,3) estão no núcleo de T .
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, como encontrar bases e dimensões desses espaços, e os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de T . O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todas as matrizes A tais que T(A) = 0 , onde 0 é o polinômio nulo.
Então, queremos resolver a equação:
T(lla & b c & d) = a + b + c + b x + (a + d)x^2 + c x^3 = 0
Isso significa que todos os coeficientes do polinômio devem ser iguais a zero:
a + b + c = 0 b = 0 a + d = 0 c = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b, c, d .
Da segunda equação, b = 0 .
Da quarta equação, c = 0 .
Substituindo b = 0 e c = 0 na primeira equação:
a + 0 + 0 = 0 implies a = 0
E da terceira equação, a + d = 0 . Como a = 0 , então d = 0 .

Passo 4

Então, a única solução é a = b = c = d = 0 . Isso significa que o núcleo de T é apenas a matriz nula:
Núc<=o(T) = ll0 & 0 0 & 0 ú
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio, já que só temos a matriz nula, e a dimensão do núcleo é 0.
Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, T é injetora. Isso porque uma transformação linear é injetora se e só se o núcleo contém apenas o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem de T é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando T a alguma matriz 2 times 2 .
Para encontrar a imagem, vamos expressar T de forma mais clara:
T(lla & b c & d) = (a + b + c) + b x + (a + d) x^2 + c x^3
Podemos reescrever isso como uma combinação linear dos coeficientes:
= a(1 + x^2) + b(1 + x) + c(1 + x^3) + d x^2
Mas como já temos que d = -a no núcleo, para a imagem, d é livre, então podemos agrupar:
= a(1 + x^2) + b(1 + x) + c(1 + x^3) + d x^2
No entanto, para encontrar uma base, vamos considerar as combinações lineares possíveis. Observando os termos, vemos que os polinômios gerados são combinações de 1 , x , x^2 e x^3 . Portanto, a imagem de T é todo o espaço P3(R) , já que podemos alcançar qualquer polinômio de grau até 3.
A dimensão da imagem é, então, 4, pois temos quatro polinômios base independentes.
Como a imagem de T é todo P3(R) , T é sobrejetora.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar quais dos vetores (1,-1,1) , (0,0,0) , e (-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
Mas na letra b, encontramos que o núcleo de T é apenas a matriz nula. Portanto, somente o vetor (0,0,0) está no núcleo.

Resposta

  1. Núcleo de T é apenas a matriz nula, base vazia e dimensão 0. T é injetora.
  2. Imagem de T é todo P3(R) , base 1, x, x^2, x^3 e dimensão 4. T é sobrejetora.
  3. Somente o vetor (0,0,0) pertence ao núcleo de T .

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