(0, 2 pts) Calcule a função derivada da função abaixo:
f(x)=(x)^{\frac{1}{x}} \text { para } x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{\frac1x} \quad\text{para}\quad x>0.
O conteúdo da matéria é derivadas de funções definidas por potência com expoente variável. Vamos usar diferenciação logarítmica, aplicando a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Defina y = f(x). Tomando logaritmo natural em ambos os lados, temos
\ln y = \ln\bigl(x^{\frac1x}\bigr) = \frac1x\,\ln x.

Passo 3

Derivando em relação a x, o lado esquerdo dá
\frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y},
e o lado direito, tratando como quociente \frac{\ln x}{x}, dá
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{\ln x}{x}\Bigr) = \frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}.
Logo
\frac{y'}{y} = \frac{1-\ln x}{x^2}.

Passo 4

Isolando y' e voltando a f(x), obtemos
y' = y\,\frac{1-\ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = x^{\frac1x}\,\frac{1-\ln x}{x^2}.

Resposta

f'(x) = x^{\frac1x}\,\frac{1-\ln x}{x^2}.

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