Considere a aplicação linear representada na base canônica pela matriz:
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Encontre uma base para o núcleo de T. T é injetora?
(c) Encontre uma base para a imagem de T. Ela é sobrejetora?
(d) Resolva a equação T(x, y, z)=(7,1,1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! Temos uma transformação linear T representada pela matriz dada na base canônica:
[ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ]
Vamos precisar entender como aplicar essa matriz em um vetor (x, y, z) e também encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação para responder se ela é injetora ou sobrejetora. Vamos lá!
Passo 2
a) Determinar T(x, y, z)
Primeiro, vamos ver o que significa aplicar a transformação T a um vetor (x, y, z) . Isso é feito multiplicando a matriz de T pelo vetor coluna x y z .
Então, temos:
T(x, y, z) = [ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ] x y z
Vamos realizar essa multiplicação passo a passo.
Passo 3
Multiplicando a matriz pelo vetor:
Primeira linha:
3x + 2y + 2z
Segunda linha:
1x + 1y - 1z
Terceira linha:
-2x + 0y + 3z
Então, a transformação fica:
T(x, y, z) = 3x + 2y + 2z x + y - z -2x + 3z
Resposta
A transformação linear T aplicada ao vetor (x, y, z) é: