Dado o vetor v1=(-1,1,0),
(a) Determine v2 a partir de v1 de modo que v1 perp v2;
(b) Determine v3, de modo que v1 perp v3 e v2 perp v3;
(c) É possível econtrarmos v4 de modo que v1, v2, v3, v4 forme um conjunto ortogonal? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A pergunta nos dá o vetor v1=(-1,1,0) e pede para encontrarmos outros vetores que sejam ortogonais a ele e entre si. Isso envolve o conceito de ortogonalidade em Álgebra Linear, que significa que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos usar isso para achar v2 , v3 e verificar sobre v4 .

Passo 2

Item (a): Determinar v2 tal que v1 perp v2 .
Para v1 e v2 serem ortogonais, o produto escalar deles precisa ser zero:
v1 cdot v2 = 0
Vamos supor que v2 = (x, y, z) . Então:
(-1)(x) + (1)(y) + (0)(z) = 0 - x + y = 0 Rightarrow y = x
Podemos escolher x = 1 , então y = 1 e z pode ser qualquer valor, por exemplo, z = 0 . Assim, um possível v2 é:
v2 = (1, 1, 0)

Passo 3

Item (b): Determinar v3 tal que v1 perp v3 e v2 perp v3 .
Queremos que v3 = (a, b, c) seja ortogonal tanto a v1 quanto a v2 .
Primeiro, v1 cdot v3 = 0 :
(-1)a + (1)b + (0)c = 0 - a + b = 0 Rightarrow b = a
Segundo, v2 cdot v3 = 0 :
(1)a + (1)b + (0)c = 0 a + b = 0
Substituindo b = a :
a + a = 0 2a = 0 Rightarrow a = 0 Rightarrow b = 0
Então, temos v3 = (0, 0, c) . Podemos escolher c = 1 , então:
v3 = (0, 0, 1)

Passo 4

Item (c): É possível encontrar v4 tal que v1, v2, v3, v4 seja um conjunto ortogonal?
Um conjunto de vetores é ortogonal se todo par de vetores nele for ortogonal. Porém, estamos trabalhando no espaço tridimensional ( R^3 ), o que significa que não podemos ter mais de três vetores mutuamente ortogonais nesse espaço. Já temos três vetores ortogonais ( v1, v2, v3 ), e não há um quarto vetor em R^3 que seja ortogonal a todos eles simultaneamente. Portanto, não é possível encontrar v4 que satisfaça essa condição.

Resposta

(a) v2 = (1, 1, 0)
(b) v3 = (0, 0, 1)
(c) Não é possível encontrar v4 que forme um conjunto ortogonal com v1, v2 e v3 no espaço tridimensional.

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