Dado o vetor
,
(a) Determine
a partir de
de modo que
;
(b) Determine
, de modo que
e
;
(c) É possível econtrarmos
de modo que
forme um conjunto ortogonal? Justifique.
(a) Determine
(b) Determine
(c) É possível econtrarmos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A pergunta nos dá o vetor
e pede para encontrarmos outros vetores que sejam ortogonais a ele e entre si. Isso envolve o conceito de ortogonalidade em Álgebra Linear, que significa que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos usar isso para achar
,
e verificar sobre
.
Passo 2
Item (a): Determinar
tal que
.
Para
e
serem ortogonais, o produto escalar deles precisa ser zero:
Vamos supor que
. Então:
Podemos escolher
, então
e
pode ser qualquer valor, por exemplo,
. Assim, um possível
é:
Passo 3
Item (b): Determinar
tal que
e
.
Queremos que
seja ortogonal tanto a
quanto a
.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Substituindo
:
Então, temos
. Podemos escolher
, então:
Passo 4
Item (c): É possível encontrar
tal que
seja um conjunto ortogonal?
Um conjunto de vetores é ortogonal se todo par de vetores nele for ortogonal. Porém, estamos trabalhando no espaço tridimensional (
), o que significa que não podemos ter mais de três vetores mutuamente ortogonais nesse espaço. Já temos três vetores ortogonais (
), e não há um quarto vetor em
que seja ortogonal a todos eles simultaneamente. Portanto, não é possível encontrar
que satisfaça essa condição.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não é possível encontrar
que forme um conjunto ortogonal com
e
no espaço tridimensional.