Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para cada um dos espaços vetoriais dados. O conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar entender como identificar vetores que sejam lineares e que possam gerar todo o espaço dado.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Todas as coordenadas dos vetores em
são iguais, ou seja,
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito na forma
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que possam gerar todo o espaço
. Nesse caso, como todos os vetores são múltiplos de
, basta esse único vetor para gerar
.
Passo 4
Vamos agora encontrar uma base para o conjunto de vetores em
que satisfazem a equação
. Esse conjunto forma um hiperplano em
.
Passo 5
Para encontrar uma base, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos isolar
:
Então, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
Passo 6
Podemos decompor esse vetor em combinações lineares das variáveis livres
,
e
:
Passo 7
Os vetores
,
e
são linearmente independentes e geram todo o espaço definido pela equação original.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma base para o conjunto de vetores em
que satisfazem a equação
. Esse conjunto representa um plano em
.
Passo 9
Primeiro, isolamos uma das variáveis. Vamos isolar
:
Então, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
Passo 10
Podemos decompor esse vetor em combinações lineares das variáveis livres
e
:
Passo 11
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram todo o plano definido pela equação original.
Resposta
Uma base para o espaço é
.