Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
(a) F=(x1, x2, x3, x4) ; x1=x2=x3=x4 subset R^4
(b) (x1, x2, x3, x4) ; x1+x2+x3+x4=0 subset R^4
(c) (x, y, z) ; x-2 y+4 z=0 subset R^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para cada um dos espaços vetoriais dados. O conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar entender como identificar vetores que sejam lineares e que possam gerar todo o espaço dado.

Parte (a) F=(x1, x2, x3, x4) ; x1=x2=x3=x4 subset R^4

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto F. Todas as coordenadas dos vetores em F são iguais, ou seja, x1 = x2 = x3 = x4. Isso significa que qualquer vetor em F pode ser escrito na forma (t, t, t, t), onde t é um número real.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que possam gerar todo o espaço F. Nesse caso, como todos os vetores são múltiplos de (1, 1, 1, 1), basta esse único vetor para gerar F.

Passo 4

Vamos agora encontrar uma base para o conjunto de vetores em R^4 que satisfazem a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Esse conjunto forma um hiperplano em R^4.

Passo 5

Para encontrar uma base, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos isolar x1:
x1 = -x2 - x3 - x4
Então, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
(x1, x2, x3, x4) = (-x2 - x3 - x4, x2, x3, x4)

Passo 6

Podemos decompor esse vetor em combinações lineares das variáveis livres x2, x3 e x4:
= x2(-1, 1, 0, 0) + x3(-1, 0, 1, 0) + x4(-1, 0, 0, 1)

Passo 7

Os vetores (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1) são linearmente independentes e geram todo o espaço definido pela equação original.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma base para o conjunto de vetores em R^3 que satisfazem a equação x - 2y + 4z = 0. Esse conjunto representa um plano em R^3.

Passo 9

Primeiro, isolamos uma das variáveis. Vamos isolar x:
x = 2y - 4z
Então, qualquer vetor no conjunto pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2y - 4z, y, z)

Passo 10

Podemos decompor esse vetor em combinações lineares das variáveis livres y e z:
= y(2, 1, 0) + z(-4, 0, 1)

Passo 11

Os vetores (2, 1, 0) e (-4, 0, 1) são linearmente independentes e geram todo o plano definido pela equação original.

Resposta

Uma base para o espaço é , (2, 1, 0), (-4, 0, 1) ,.

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