Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(a) (-1,2,0),(3,2,-1),(-1,-1,-1) em R^3 com o produto interno usual.
(b) (cc1 & 0 0 & -1),(cc-1 & 1 -1 & 0),(cc0 & -1 1 & 0) com o produto interno definido a seguir
lang<=(ll a & b c & d ),(ll e & f g & h )rang<==a cdot e+b cdot f+c cdot g+d cdot h
(c) (1,2),(-2,3),(2,-1) com o produto interno usual do R^2

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto (-1,2,0), (3,2,-1), (-1,-1,-1) é ortogonal em R^3 com o produto interno usual. Para isso, precisamos calcular o produto interno entre cada par de vetores e ver se todos resultam em zero.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto interno entre o primeiro e o segundo vetor:
lang<= (-1,2,0), (3,2,-1) rang<= = (-1) cdot 3 + 2 cdot 2 + 0 cdot (-1) = -3 + 4 + 0 = 1
Como o resultado não é zero, esses dois vetores não são ortogonais.

Passo 3

Como já encontramos um par de vetores que não são ortogonais, não é necessário verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.

Passo 4

Agora vamos analisar o conjunto de matrizes:
1 & 0 0 & -1 , -1 & 1 -1 & 0 , 0 & -1 1 & 0
com o produto interno definido por:
lang<= a & b c & d , e & f g & h rang<= = a cdot e + b cdot f + c cdot g + d cdot h
Precisamos verificar se todas as matrizes são ortogonais entre si usando esse produto interno.

Passo 5

Primeiro, calculamos o produto interno entre a primeira e a segunda matriz:
lang<= A, B rang<= = (1)(-1) + (0)(1) + (0)(-1) + (-1)(0) = -1 + 0 + 0 + 0 = -1
Como não é zero, essas duas matrizes não são ortogonais.

Passo 6

Como já encontramos um par de matrizes que não são ortogonais, não é necessário verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se o conjunto (1,2), (-2,3), (2,-1) é ortogonal em R^2 com o produto interno usual. Isso significa que devemos calcular o produto interno entre cada par de vetores e verificar se todos são iguais a zero.

Passo 8

Calculamos o produto interno entre o primeiro e o segundo vetor:
lang<= (1,2), (-2,3) rang<= = 1 cdot (-2) + 2 cdot 3 = -2 + 6 = 4
Como não é zero, esses dois vetores não são ortogonais.

Passo 9

Já que encontramos um par de vetores que não são ortogonais, não há necessidade de verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.

Resposta

O conjunto (1,2), (-2,3), (2,-1) não é ortogonal em R^2 com o produto interno usual.

Exercícios relacionados