Verfique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(a) em com o produto interno usual.
(b) com o produto interno definido a seguir
lang<=(ll a & b c & d ),(ll e & f g & h )rang<==a cdot e+b cdot f+c cdot g+d cdot h
(c) (1,2),(-2,3),(2,-1) com o produto interno usual do R^2
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto (-1,2,0), (3,2,-1), (-1,-1,-1) é ortogonal em R^3 com o produto interno usual. Para isso, precisamos calcular o produto interno entre cada par de vetores e ver se todos resultam em zero.
Passo 2
Primeiro, calculamos o produto interno entre o primeiro e o segundo vetor:
Como o resultado não é zero, esses dois vetores não são ortogonais.
Passo 3
Como já encontramos um par de vetores que não são ortogonais, não é necessário verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.
Passo 4
Agora vamos analisar o conjunto de matrizes:
1 & 0 0 & -1 , -1 & 1 -1 & 0 , 0 & -1 1 & 0
com o produto interno definido por:
lang<= a & b c & d , e & f g & h rang<= = a cdot e + b cdot f + c cdot g + d cdot h
Precisamos verificar se todas as matrizes são ortogonais entre si usando esse produto interno.
Passo 5
Primeiro, calculamos o produto interno entre a primeira e a segunda matriz:
Como não é zero, essas duas matrizes não são ortogonais.
Passo 6
Como já encontramos um par de matrizes que não são ortogonais, não é necessário verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se o conjunto (1,2), (-2,3), (2,-1) é ortogonal em R^2 com o produto interno usual. Isso significa que devemos calcular o produto interno entre cada par de vetores e verificar se todos são iguais a zero.
Passo 8
Calculamos o produto interno entre o primeiro e o segundo vetor:
Como não é zero, esses dois vetores não são ortogonais.
Passo 9
Já que encontramos um par de vetores que não são ortogonais, não há necessidade de verificar os demais pares. Se mesmo um único par não for ortogonal, o conjunto todo não é ortogonal.
Resposta
O conjunto (1,2), (-2,3), (2,-1) não é ortogonal em R^2 com o produto interno usual.