Seja uma transformação linear definida por e .
(a) Determine .
(b) Determine tal que .
(c) Determine tal que .
(d) Determine a matriz desta transformação nas bases canônicas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma transformação linear que leva vetores de para . A gente sabe como essa transformação atua em alguns vetores específicos:
Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Com isso, podemos encontrar uma regra geral para e depois resolver os outros itens utilizando essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para . Como é linear, podemos expressá-la como uma combinação linear das coordenadas . Ou seja:
Mas a gente só sabe , e . Precisamos descobrir e .
Passo 3
Vamos usar as informações que temos para encontrar e . Sabemos que:
Já que , podemos substituir:
Agora, subtraindo de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Somando :
Então, subtraindo :
Passo 5
Agora que temos , e , podemos escrever a expressão geral para :
Multiplicando e somando os vetores:
Passo 6
Agora que temos a expressão geral de , podemos responder o item (a):
Passo 7
Para o item (b), precisamos encontrar um vetor tal que . Usando a expressão que encontramos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y e z :
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 2 - (-3) x = 5
Agora, substituímos x = 5 na primeira equação:
3(5) - y - z = -3 15 - y - z = -3 -y - z = -18 y + z = 18
Isso nos dá uma relação entre y e z . Podemos escolher um valor para y e encontrar z , por exemplo, se y = 0 , então z = 18 . Então, um vetor v que satisfaz T(v) = (-3, 2) é (5, 0, 18) .
Passo 9
Para o item (c), precisamos encontrar um vetor v = (x, y, z) tal que T(v) = (0, 0) . Usando a expressão de T :
(3x - y - z, 4x - y - z) = (0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0
Passo 10
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y e z :
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 x = 0
Agora, substituímos x = 0 na primeira equação:
3(0) - y - z = 0 -y - z = 0 y + z = 0
Isso significa que y = -z . Então, podemos escolher qualquer valor para z e definir y = -z . Por exemplo, se z = 1 , então y = -1 . Assim, um vetor que satisfaz T(v) = (0, 0) é (0, -1, 1) .
Passo 11
Finalmente, para o item (d), queremos determinar a matriz da transformação T nas bases canônicas. Sabemos que:
T(x, y, z) = 3x - y - z 4x - y - z
Isso pode ser representado pela matriz A :
A = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1
Resposta
(a) T(x, y, z) = (3x - y - z, 4x - y - z)
(b) Um vetor v que satisfaz T(v) = (-3, 2) é v = (5, 0, 18)
(c) Um vetor v que satisfaz T(v) = (0, 0) é v = (0, -1, 1)
(d) A matriz da transformação nas bases canônicas é: