Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear definida por T(1,1,1)=(1,2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)= (3,4).
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Determine v in R^3 tal que T(v)=(-3,2).
(c) Determine v in R^3 tal que T(v)=(0,0).
(d) Determine a matriz desta transformação nas bases canônicas

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma transformação linear T que leva vetores de R^3 para R^2 . A gente sabe como essa transformação atua em alguns vetores específicos:
  • T(1,1,1) = (1,2)
  • T(1,1,0) = (2,3)
  • T(1,0,0) = (3,4)
Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Com isso, podemos encontrar uma regra geral para T(x, y, z) e depois resolver os outros itens utilizando essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para T(x, y, z) . Como T é linear, podemos expressá-la como uma combinação linear das coordenadas x, y, z . Ou seja:
T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1)
Mas a gente só sabe T(1,1,1) , T(1,1,0) e T(1,0,0) . Precisamos descobrir T(0,1,0) e T(0,0,1) .

Passo 3

Vamos usar as informações que temos para encontrar T(0,1,0) e T(0,0,1) . Sabemos que:
T(1,1,0) = T(1,0,0) + T(0,1,0) = (2,3)
Já que T(1,0,0) = (3,4) , podemos substituir:
(3,4) + T(0,1,0) = (2,3)
Agora, subtraindo (3,4) de ambos os lados:
T(0,1,0) = (2,3) - (3,4) = (-1,-1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar T(0,0,1) . Sabemos que:
T(1,1,1) = T(1,0,0) + T(0,1,0) + T(0,0,1) = (1,2)
Substituindo os valores que já conhecemos:
(3,4) + (-1,-1) + T(0,0,1) = (1,2)
Somando (3,4) + (-1,-1) :
(2,3) + T(0,0,1) = (1,2)
Então, subtraindo (2,3) :
T(0,0,1) = (1,2) - (2,3) = (-1,-1)

Passo 5

Agora que temos T(1,0,0) = (3,4) , T(0,1,0) = (-1,-1) e T(0,0,1) = (-1,-1) , podemos escrever a expressão geral para T(x, y, z) :
T(x, y, z) = x cdot (3,4) + y cdot (-1,-1) + z cdot (-1,-1)
Multiplicando e somando os vetores:
T(x, y, z) = (3x - y - z, 4x - y - z)

Passo 6

Agora que temos a expressão geral de T(x, y, z) , podemos responder o item (a):
T(x, y, z) = (3x - y - z, 4x - y - z)

Passo 7

Para o item (b), precisamos encontrar um vetor v = (x, y, z) tal que T(v) = (-3, 2) . Usando a expressão que encontramos:
(3x - y - z, 4x - y - z) = (-3, 2)
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - y - z = -3 4x - y - z = 2

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y e z :
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 2 - (-3) x = 5
Agora, substituímos x = 5 na primeira equação:
3(5) - y - z = -3 15 - y - z = -3 -y - z = -18 y + z = 18
Isso nos dá uma relação entre y e z . Podemos escolher um valor para y e encontrar z , por exemplo, se y = 0 , então z = 18 . Então, um vetor v que satisfaz T(v) = (-3, 2) é (5, 0, 18) .

Passo 9

Para o item (c), precisamos encontrar um vetor v = (x, y, z) tal que T(v) = (0, 0) . Usando a expressão de T :
(3x - y - z, 4x - y - z) = (0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
3x - y - z = 0 4x - y - z = 0

Passo 10

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar y e z :
(4x - y - z) - (3x - y - z) = 0 - 0 x = 0
Agora, substituímos x = 0 na primeira equação:
3(0) - y - z = 0 -y - z = 0 y + z = 0
Isso significa que y = -z . Então, podemos escolher qualquer valor para z e definir y = -z . Por exemplo, se z = 1 , então y = -1 . Assim, um vetor que satisfaz T(v) = (0, 0) é (0, -1, 1) .

Passo 11

Finalmente, para o item (d), queremos determinar a matriz da transformação T nas bases canônicas. Sabemos que:
T(x, y, z) = 3x - y - z 4x - y - z
Isso pode ser representado pela matriz A :
A = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1

Resposta

(a) T(x, y, z) = (3x - y - z, 4x - y - z)
(b) Um vetor v que satisfaz T(v) = (-3, 2) é v = (5, 0, 18)
(c) Um vetor v que satisfaz T(v) = (0, 0) é v = (0, -1, 1)
(d) A matriz da transformação nas bases canônicas é:
3 & -1 & -1 4 & -1 & -1

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