Considere a aplicação linear representada na base canônica pela matriz :
Encontre uma base para a imagem de T. Ela é sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para a imagem da aplicação linear T que é representada pela matriz dada na base canônica:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
Além disso, precisamos verificar se essa aplicação é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender conceitos como imagem de uma aplicação linear, base de um espaço vetorial e sobrejetividade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma aplicação linear T: R^n to R^m é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^n . No caso, nossa matriz A representa T e tem dimensões 3 times 3 , então estamos lidando com uma transformação de R^3 para R^3 .
Para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço imagem. Esses vetores normalmente são as colunas da matriz A .
Passo 3
Vamos olhar para as colunas da matriz A :
c1 = 3 1 -2 , c2 = 2 1 0 , c3 = 2 -1 3
Queremos verificar quais dessas colunas são linearmente independentes. Se todas forem, elas já formam uma base. Caso contrário, precisamos eliminar as dependentes.
Para testar a independência, podemos montar uma matriz com essas colunas e verificar seu determinante ou fazer uma redução por linhas.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz A para ver se as colunas são independentes:
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 11 neq 0 ), as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Como as três colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem de T . Portanto, a base para a imagem de T é:
3 1 -2 , 2 1 0 , 2 -1 3
Passo 6
Para verificar se T é sobrejetora (ou sobrejetiva), precisamos conferir se a imagem de T é todo o espaço de chegada, que no caso é R^3 .
Sabemos que o número de vetores na base da imagem (que é a dimensão da imagem) nos diz o quão “grande” é a imagem. Aqui, nossa base tem 3 vetores, então a dimensão da imagem é 3.
Como R^3 também tem dimensão 3, a imagem de T é igual a R^3 . Isso significa que T preenche todo o espaço de chegada, ou seja, é sobrejetora.