Considere a aplicação linear T representada na base canônica pela matriz :
[ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ]
Encontre uma base para a imagem de T. Ela é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para a imagem da aplicação linear T que é representada pela matriz dada na base canônica:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
Além disso, precisamos verificar se essa aplicação é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender conceitos como imagem de uma aplicação linear, base de um espaço vetorial e sobrejetividade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma aplicação linear T: R^n to R^m é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^n . No caso, nossa matriz A representa T e tem dimensões 3 times 3 , então estamos lidando com uma transformação de R^3 para R^3 .
Para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço imagem. Esses vetores normalmente são as colunas da matriz A .

Passo 3

Vamos olhar para as colunas da matriz A :
c1 = 3 1 -2 , c2 = 2 1 0 , c3 = 2 -1 3
Queremos verificar quais dessas colunas são linearmente independentes. Se todas forem, elas já formam uma base. Caso contrário, precisamos eliminar as dependentes.
Para testar a independência, podemos montar uma matriz com essas colunas e verificar seu determinante ou fazer uma redução por linhas.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A para ver se as colunas são independentes:
det(A) = 3 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot 0) - 2 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) + 2 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-2))
Calculando passo a passo:
det(A) = 3 cdot (3 - 0) - 2 cdot (3 - 2) + 2 cdot (0 + 2) = 3 cdot 3 - 2 cdot 1 + 2 cdot 2 = 9 - 2 + 4 = 11
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 11 neq 0 ), as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Como as três colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem de T . Portanto, a base para a imagem de T é:
3 1 -2 , 2 1 0 , 2 -1 3

Passo 6

Para verificar se T é sobrejetora (ou sobrejetiva), precisamos conferir se a imagem de T é todo o espaço de chegada, que no caso é R^3 .
Sabemos que o número de vetores na base da imagem (que é a dimensão da imagem) nos diz o quão “grande” é a imagem. Aqui, nossa base tem 3 vetores, então a dimensão da imagem é 3.
Como R^3 também tem dimensão 3, a imagem de T é igual a R^3 . Isso significa que T preenche todo o espaço de chegada, ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Uma base para a imagem de T é:
3 1 -2 , 2 1 0 , 2 -1 3
Além disso, a aplicação linear T é sobrejetora.

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