Seja T(x, y, z)=(x+y+z,+x+2 y-4 z, z).
Calcule a matriz que representa T na base canônica.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (x + y + z, x + 2y - 4z, z) e precisa encontrar a matriz que representa essa transformação na base canônica. Pra isso, vamos lembrar como transformar uma função linear em uma matriz usando a base padrão, que são os vetores e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T no vetor e1 = (1, 0, 0) . Substituindo na função:
T(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, 1 + 2 cdot 0 - 4 cdot 0, 0) = (1, 1, 0)
Então, a primeira coluna da matriz será 1 1 0 .

Passo 3

Agora, aplicamos T no vetor e2 = (0, 1, 0) :
T(0, 1, 0) = (0 + 1 + 0, 0 + 2 cdot 1 - 4 cdot 0, 0) = (1, 2, 0)
A segunda coluna da matriz é 1 2 0 .

Passo 4

Por fim, aplicamos T no vetor e3 = (0, 0, 1) :
T(0, 0, 1) = (0 + 0 + 1, 0 + 2 cdot 0 - 4 cdot 1, 1) = (1, -4, 1)
A terceira coluna da matriz fica 1 -4 1 .

Resposta

A matriz que representa T na base canônica é:
1 & 1 & 1 1 & 2 & -4 0 & 0 & 1

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