Considere a aplicação linear T representada na base canônica pela matriz :
[ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ]
Resolva a equação T(x, y, z)=(7,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma aplicação linear T representada pela matriz:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
E queremos achar os valores de x , y e z que fazem com que T(x, y, z) = (7, 1, 1) . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aplicar T a (x, y, z) . Multiplicamos a matriz de T pelo vetor x y z :
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 x y z = 7 1 1

Passo 3

Vamos multiplicar a matriz pelo vetor para obter as equações:
  1. 3x + 2y + 2z = 7
  2. x + y - z = 1
  3. -2x + 0y + 3z = 1
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
x + y - z = 1
Podemos expressar x em função de y e z :
x = 1 - y + z  → (4)

Passo 5

Agora, vamos substituir x da equação (4) na primeira e terceira equações.
Primeira equação:
3(1 - y + z) + 2y + 2z = 7
Distribuindo:
3 - 3y + 3z + 2y + 2z = 7
Juntando termos semelhantes:
-y + 5z = 4  → (5)
Terceira equação:
-2(1 - y + z) + 3z = 1
Distribuindo:
-2 + 2y - 2z + 3z = 1
Juntando termos semelhantes:
2y + z = 3  → (6)

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  1. -y + 5z = 4  (5)
  2. 2y + z = 3  (6)
Vamos resolver a equação (6) para z :
z = 3 - 2y  → (7)

Passo 7

Substituímos z da equação (7) na equação (5):
-y + 5(3 - 2y) = 4
Multiplicando:
-y + 15 - 10y = 4
Juntando os termos:
-11y + 15 = 4
Subtraindo 15 de ambos os lados:
-11y = -11
Dividindo por -11:
y = 1

Passo 8

Agora que temos y = 1 , vamos encontrar z usando a equação (7):
z = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1

Passo 9

Com y = 1 e z = 1 , vamos encontrar x usando a equação (4):
x = 1 - 1 + 1 = 1

Resposta

A solução da equação T(x, y, z) = (7, 1, 1) é (x, y, z) = (1, 1, 1) .

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