Considere a aplicação linear representada na base canônica pela matriz :
Resolva a equação T(x, y, z)=(7,1,1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma aplicação linear T representada pela matriz:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
E queremos achar os valores de x , y e z que fazem com que T(x, y, z) = (7, 1, 1) . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aplicar T a (x, y, z) . Multiplicamos a matriz de T pelo vetor x y z :
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 x y z = 7 1 1
Passo 3
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor para obter as equações:
3x + 2y + 2z = 7
x + y - z = 1
-2x + 0y + 3z = 1
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
x + y - z = 1
Podemos expressar x em função de y e z :
x = 1 - y + z → (4)
Passo 5
Agora, vamos substituir x da equação (4) na primeira e terceira equações.
Primeira equação:
3(1 - y + z) + 2y + 2z = 7
Distribuindo:
3 - 3y + 3z + 2y + 2z = 7
Juntando termos semelhantes:
-y + 5z = 4 → (5)
Terceira equação:
-2(1 - y + z) + 3z = 1
Distribuindo:
-2 + 2y - 2z + 3z = 1
Juntando termos semelhantes:
2y + z = 3 → (6)
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-y + 5z = 4 (5)
2y + z = 3 (6)
Vamos resolver a equação (6) para z :
z = 3 - 2y → (7)
Passo 7
Substituímos z da equação (7) na equação (5):
-y + 5(3 - 2y) = 4
Multiplicando:
-y + 15 - 10y = 4
Juntando os termos:
-11y + 15 = 4
Subtraindo 15 de ambos os lados:
-11y = -11
Dividindo por -11:
y = 1
Passo 8
Agora que temos y = 1 , vamos encontrar z usando a equação (7):
z = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1
Passo 9
Com y = 1 e z = 1 , vamos encontrar x usando a equação (4):
x = 1 - 1 + 1 = 1
Resposta
A solução da equação T(x, y, z) = (7, 1, 1) é (x, y, z) = (1, 1, 1) .