Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine uma base para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3 to R^3 representada na base canônica pela matriz
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
Para determinar uma base da imagem de T, basta encontrar uma base do espaço coluna de A.

Passo 2

Os vetores coluna de A são exatamente as imagens dos vetores canônicos e valem
c1 = 2-1-1, c2 = -12-1, c3 = -1-12
Note que há uma relação linear entre essas colunas:
c1 + c2 + c3 ;=; 2-1-1 + -12-1 + -1-12 = 000
Logo, c1,c2,c3 é um conjunto linearmente dependente e dim(Im,T)<=2.

Passo 3

Para ver que dim(Im,T)=2, basta observar que c1 e c2 não são múltiplos um do outro (por exemplo, 2/(-1)neq -1/2). Portanto, c1,c2 é um conjunto linearmente independente.
Concluímos que rank(A)=2 e que uma base da imagem de T pode ser escolhida como os dois primeiros vetores coluna.

Resposta

Uma base para Im,T é
, 2-1-1,, -12-1

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