Considere a aplicação linear T representada na base canônica pela matriz :
[ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ]
Encontre uma base para o núcleo de T. T é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma base para o núcleo da transformação linear T que é representada pela matriz:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
Além disso, precisamos dizer se T é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo (ou kernel) de uma transformação linear e injetividade, e usar um pouco de álgebra linear, como por exemplo resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: o núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem T(x) = 0 . Na prática, isso significa resolver o sistema linear representado pela matriz de T igual a zero.
Então, vamos escrever o sistema de equações:
3x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 - x3 = 0 -2x1 + 0x2 + 3x3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. A melhor maneira é usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para simplificar.
Primeiro, da segunda equação:
x1 = -x2 + x3
Vamos substituir x1 nas outras equações.

Passo 4

Substituindo x1 = -x2 + x3 na primeira equação:
3(-x2 + x3) + 2x2 + 2x3 = 0 -3x2 + 3x3 + 2x2 + 2x3 = 0 (-3x2 + 2x2) + (3x3 + 2x3) = 0 - x2 + 5x3 = 0 Rightarrow x2 = 5x3

Passo 5

Agora, substituímos x2 = 5x3 e x1 = -x2 + x3 na terceira equação:
-2(-5x3) + 3x3 = 0 10x3 + 3x3 = 0 13x3 = 0 Rightarrow x3 = 0

Passo 6

Com x3 = 0 , podemos encontrar x2 e x1 :
x2 = 5x3 = 5 times 0 = 0 x1 = -x2 + x3 = -0 + 0 = 0
Então, o único vetor que está no núcleo é o vetor nulo 0 .

Resposta

Uma base para o núcleo de T é o conjunto contendo apenas o vetor nulo, ou seja, Ker(T) = 0 . Portanto, T é injetora.

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