Considere a aplicação linear T representada na base canônica pela matriz:
[ccc 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3 ]
Encontre uma base para a imagem de T. Ela é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T representada pela matriz:
3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para a imagem de T , que basicamente são os vetores que formam essa imagem. Além disso, vamos verificar se T é sobretora (ou seja, se a imagem de T cobre todo o espaço de chegada).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para ela, usando conceitos de espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de T é o conjunto de todos os vetores que a transformação T pode “atingir”. Matematicamente, isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz que representa T .
Então, nossa missão é identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes, pois essas vão formar a base para a imagem de T .

Passo 3

Vamos olhar para a matriz novamente:
A = 3 & 2 & 2 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 3
Para identificar as colunas independentes, podemos analisar se uma coluna pode ser escrita como combinação das outras. Uma maneira prática de fazer isso é transformar a matriz em forma escalonada por linhas (REF) usando operações elementares.

Passo 4

Vamos começar aplicando operações para simplificar a matriz:
  1. Primeiro pivô: Já está ok, é o 3 na posição (1,1).
  2. Zerar abaixo do pivô:
    • Linha 2: L2 - 13L1
    • Linha 3: L3 + 23L1
Após essas operações, a matriz fica assim:
3 & 2 & 2 0 & 13 & -53 0 & 43 & 73

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que é 13 na posição (2,2). Vamos usar esse pivô para zerar abaixo dele:
  • Linha 3: L3 - 4 times L2
A matriz fica assim:
3 & 2 & 2 0 & 13 & -53 0 & 0 & 9

Passo 6

Com a matriz em forma escalonada, podemos ver que todos os pivôs são diferentes de zero. Isso significa que todas as três colunas são linearmente independentes.
Logo, a base para a imagem de T são as três colunas da matriz original:
3 1 -2 , 2 1 0 , 2 -1 3

Passo 7

Agora, para verificar se T é sobretora, precisamos saber se a imagem de T cobre todo o espaço de chegada. Como a matriz A é 3 times 3 e temos três colunas linearmente independentes, o espaço gerado pela imagem é de dimensão 3.
Isso significa que a imagem de T é o próprio R^3, já que a dimensão coincide com o espaço de chegada.

Resposta

A base para a imagem de T é composta pelos vetores:
3 1 -2 , 2 1 0 , 2 -1 3
Além disso, T é sobretora, ou seja, a imagem de T cobre todo o espaço R^3.

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