1. (MED. ABC) - Resolver, em R, a equação
(x+1x)^2-5(x+1x)+6=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em Rsetminus0, a equação
l(x+1xr)^2-5l(x+1xr)+6=0
O conteúdo aqui é equações fracionárias que se resolvem bem com uma substituição do tipo
t = x + 1x,
lembrando que xneq0.

Passo 2

Fazendo a substituição t = x + tfrac1x, a equação torna-se
t^2 - 5t + 6 = 0
Agora é só resolver essa equação quadrática em t.

Passo 3

A equação
t^2 - 5t + 6 = 0
fatora como
(t-2)(t-3)=0,
portanto as soluções para t são
t=2 ou t=3

Passo 4

Para cada valor de t voltamos à variável x:
Quando t=2:
x + 1x = 2 Longrightarrow x^2-2x+1=0 Longrightarrow (x-1)^2=0 Longrightarrow x=1

Passo 5

Quando t=3:
x + 1x = 3 Longrightarrow x^2-3x+1=0
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = 3^2-4cdot1cdot1 = 5,
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x = 3pmraiz52

Resposta

As soluções reais da equação são
x = 1, x = 3+raiz52, x = 3-raiz52

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