Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que pega três números e transforma em três outros números seguindo a regra:
O problema quer que a gente mostre que essa função é bijetiva (ou seja, é um mapeamento um-para-um e sobre) e que a gente encontre a função inversa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser bijetiva. Uma função é bijetiva se ela é injetora (cada entrada diferente leva a uma saída diferente) e sobrejetora (toda saída possível é atingida por alguma entrada).
Passo 3
Para mostrar que é injetora e sobrejetora, podemos tentar encontrar a função inversa. Se conseguimos fazer isso, isso já nos garante que é bijetiva.
Passo 4
Vamos começar definindo a função inversa. Seja:
Ou seja:
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para x, y, z em termos de a, b, c .
Passo 5
Da terceira equação, já temos que:
Agora, substituímos [z) na primeira e na segunda equações:
Vamos resolver esse sistema para .
Passo 6
Da primeira equação:
x + y = a - c Rightarrow x = a - c - y
Substituímos x na segunda equação:
(a - c - y) + 2y - 4c = b
Simplificando:
a - c - y + 2y - 4c = b a - 5c + y = b y = b - a + 5c
Passo 7
Agora que temos y , voltamos na expressão de x :
x = a - c - y = a - c - (b - a + 5c) = a - c - b + a - 5c = 2a - b - 6c
Passo 8
Então, encontramos:
x = 2a - b - 6c y = b - a + 5c z = c
Isso significa que a função inversa T^-1 é:
T^-1(a, b, c) = (2a - b - 6c, b - a + 5c, c)
Resposta
A função T é bijetiva e sua função inversa é dada por: