Seja T(x, y, z)=(x+y+z,+x+2 y-4 z, z).
Mostre que T é bijetiva e calcule T^-1(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função T que pega três números x, y, z e transforma em três outros números seguindo a regra:
T(x, y, z) = (x + y + z, x + 2y - 4z, z)
O problema quer que a gente mostre que essa função é bijetiva (ou seja, é um mapeamento um-para-um e sobre) e que a gente encontre a função inversa T^-1 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função T ser bijetiva. Uma função é bijetiva se ela é injetora (cada entrada diferente leva a uma saída diferente) e sobrejetora (toda saída possível é atingida por alguma entrada).

Passo 3

Para mostrar que T é injetora e sobrejetora, podemos tentar encontrar a função inversa T^-1 . Se conseguimos fazer isso, isso já nos garante que T é bijetiva.

Passo 4

Vamos começar definindo a função inversa. Seja:
T(x, y, z) = (a, b, c)
Ou seja:
a = x + y + z b = x + 2y - 4z c = z
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para x, y, z em termos de a, b, c .

Passo 5

Da terceira equação, já temos que:
Agora, substituímos [z) na primeira e na segunda equações:
Vamos resolver esse sistema para .

Passo 6

Da primeira equação:
x + y = a - c Rightarrow x = a - c - y
Substituímos x na segunda equação:
(a - c - y) + 2y - 4c = b
Simplificando:
a - c - y + 2y - 4c = b a - 5c + y = b y = b - a + 5c

Passo 7

Agora que temos y , voltamos na expressão de x :
x = a - c - y = a - c - (b - a + 5c) = a - c - b + a - 5c = 2a - b - 6c

Passo 8

Então, encontramos:
x = 2a - b - 6c y = b - a + 5c z = c
Isso significa que a função inversa T^-1 é:
T^-1(a, b, c) = (2a - b - 6c, b - a + 5c, c)

Resposta

A função T é bijetiva e sua função inversa é dada por:
T^-1(a, b, c) = (2a - b - 6c, b - a + 5c, c)

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