Conclua que o polinômio em V mais prôximo de p, considerando a norma definida no item 2, é T(p).
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear ;T:P3toP3
cuja matriz na base canônica 1,x,x^2,x^3 é
[T];=;12 1&1&1&1 1&1&1&1 1&1&1&1 1&1&1&1
O objetivo é mostrar que, usando a norma |cdot| do item 2 (que vem de um produto interno), o polinômio em V=Im,T mais próximo de um dado pinP3 é exatamente T(p). Para isso vamos reconhecer que T é o projetor ortogonal em V.
Passo 2
Mostramos que T é idempotente, isto é T^2=T. De fato, escrevendo J para a matriz cheia de uns, temos T=tfrac12J e
T^2 =12J;12J =14,J^2
Mas J^2=4J (cada entrada de J^2 é a soma de quatro uns), logo
T^2 =14cdot4J =12,J =T
Passo 3
Mostramos que T é auto-adjunta (simétrica) em relação ao produto interno induzido pela norma. Na base canônica o produto interno satisfaz lang<= p,q rang<= = vp^top vq e a matriz de T coincide com sua transposta:
[T]^top = l(tfrac12 J r)^top = tfrac12 J = [T]
Assim lang<= T(p), q rang<= = lang<= p, T(q) rang<= para todo p,q.
Passo 4
Uma aplicação linear que é idempotente e auto-adjunta é exatamente o projetor ortogonal sobre seu espaço imagem V=Im,T. Portanto, para cada pinP3, T(p) é a projeção ortogonal de p em V.
Passo 5
No contexto de espaço com produto interno, o ponto de V mais próximo de p é justamente a projeção ortogonal de p sobre V. Como vimos, essa projeção é T(p).
Resposta
O polinômio em V mais próximo de p pela norma dada é