Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
9^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 9 em Z11, ou seja, um número x tal que
9 ,x equiv 1 pmod11
Como 11 é primo e gcd(9,11)=1, esse inverso existe e podemos encontrá-lo usando o Algoritmo de Euclides Estendido.

Passo 2

Aplicamos o Algoritmo de Euclides Estendido para escrever 1 como combinação linear de 9 e 11. Primeiro, fazemos a divisão sucessiva:
11 = 9 times 1 + 2
9 = 2 times 4 + 1
2 = 1 times 2 + 0
Como o último resto não nulo é 1, temos gcd(9,11)=1. Agora voltamos substituindo para expressar 1:
1 = 9 - 2 times 4
Mas de 11 = 9 times 1 + 2 vem 2 = 11 - 9. Substituindo:
1 = 9 - 4,(11 - 9) = 5,9 - 4,11
Isso mostra que
5 times 9 + (-4)times 11 = 1,
logo o coeficiente de 9 é 5. Em módulo 11, esse 5 é exatamente o inverso de 9.

Resposta

O inverso de 9 em Z11 é 5.

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