Na multiplicação módulo
(onde
é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando
.
Determine os seguintes inversos quando
Passo 1
O enunciado pede o inverso multiplicativo de
em
, ou seja, um número
tal que
Como
é primo e
, esse inverso existe e podemos encontrá-lo usando o Algoritmo de Euclides Estendido.
Passo 2
Aplicamos o Algoritmo de Euclides Estendido para escrever
como combinação linear de
e
. Primeiro, fazemos a divisão sucessiva:
Como o último resto não nulo é
, temos
. Agora voltamos substituindo para expressar
:
Mas de
vem
. Substituindo:
Isso mostra que
logo o coeficiente de
é
. Em módulo
, esse
é exatamente o inverso de
.
Resposta
O inverso de
em
é
.