Verifique que
lang<= x, yrang<==x1 y1+x2 y2+x3 y3+x4 y4
é um produto escalar em R^4.

Passo 1

O enunciado nos dá o par lang<= x,yrang<= em R^4 definido por
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4,
e pede para verificar que ele é um produto escalar. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar, que exige:
  1. Simetria: lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=.
  2. Bilinearidade (linearidade em cada argumento):
    a) lang<= x+z,yrang<= = lang<= x,yrang<= + lang<= z,yrang<=
    b) lang<= alpha x,yrang<= = alpha,lang<= x,yrang<=.
  3. Positividade definida: lang<= x,xrang<= >= 0 para todo x, com igualdade só se x=0.

Passo 2

Mostramos a simetria observando que, como a multiplicação de números reais é comutativa, temos
xi yi = yi xi
para cada i. Somando de i=1 a 4, conclui-se
lang<= x,yrang<= = sumi=1^4 xi yi = sumi=1^4 yi xi = lang<= y,xrang<=

Passo 3

Para a bilinearidade em relação ao primeiro argumento, seja x,z,yinR^4 e alphainR. Então
lang<= x+z,yrang<= = sumi=1^4 (xi+zi)yi = sumi=1^4 xi yi + sumi=1^4 zi yi = lang<= x,yrang<= + lang<= z,yrang<=,
e
lang<= alpha x,yrang<= = sumi=1^4 (alpha xi)yi = alpha sumi=1^4 xi yi = alpha,lang<= x,yrang<=
Assim, temos aditividade e homogeneidade em x.

Passo 4

Para a positividade definida, note que
lang<= x,xrang<= = sumi=1^4 xi^2
Cada termo xi^2 é não negativo, logo a soma é >=0. Além disso, sumi=1^4 xi^2 = 0 se, e somente se, cada xi=0, ou seja x=0. Isso garante positividade definida.

Resposta

A aplicação lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto escalar em R^4.

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