Verifique que
é um produto escalar em
.
Passo 1
O enunciado nos dá o par
em
definido por
e pede para verificar que ele é um produto escalar. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar, que exige:
- Simetria:
. - Bilinearidade (linearidade em cada argumento):
a)
b). - Positividade definida:
para todo , com igualdade só se .
Passo 2
Mostramos a simetria observando que, como a multiplicação de números reais é comutativa, temos
para cada
. Somando de
a
, conclui-se
Passo 3
Para a bilinearidade em relação ao primeiro argumento, seja
e
. Então
e
Assim, temos aditividade e homogeneidade em
.
Passo 4
Para a positividade definida, note que
Cada termo
é não negativo, logo a soma é
. Além disso,
se, e somente se, cada
, ou seja
. Isso garante positividade definida.
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto escalar em
.