Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
4^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 4 no anel Z11, ou seja, um inteiro x tal que
4x equiv 1 pmod11
Para resolver, vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para encontrar essa combinação.

Passo 2

Primeiro, certificamos que o inverso existe calculando o máximo divisor comum:
gcd(4,11)=1
Como gcd(4,11)=1, o inverso de 4 módulo 11 existe.

Passo 3

Aplicando o algoritmo de Euclides para escrever 1 como combinação linear de 4 e 11:
11 = 2cdot4 + 3
4 = 1cdot3 + 1
Da segunda linha,
1 = 4 - 1cdot3
Substituindo 3 = 11 - 2cdot4 na expressão acima, obtemos
1 = 4 - l(11 - 2cdot4r) = 3cdot4 - 1cdot11
Logo
3cdot4 equiv 1 pmod11,
o que mostra que x=3 é o inverso buscado.

Resposta

O inverso de 4 em Z11 é 3, ou seja,
4^-1 equiv 3 pmod11

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