Considere a aplicação linear T: P3 P3 tal que
[T]=12(llll 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 )
Verifique que lang<= p-T(p), T(x)rang<==0, ou seja, que T(p) e p-T(p) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação linear
TcolonP3toP3
cuja matriz em relação à base canônica 1,x,x^2,x^3 é
[T]=tfrac12 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1
Queremos mostrar que, para todo polinômio p,
lang<=,p - T(p),,T(p)rang<= ;=; 0,
isto é, que T(p) e p-T(p) são vetores ortogonais no espaço R^4, tomando como produto interno
lang<= p,qrang<= =sumi=0^3 (coeficiente de x^i em p); (coeficiente de x^i em q)

Passo 2

Mostramos que T é simétrica e idempotente, caracterizando assim um projétil ortogonal.
  1. Simetria: a matriz de T é claramente igual à sua transposta, pois é múltiplo escalar da matriz cujas entradas são todas 1. Logo
[T]^T = [T]
  1. Idempotência: seja J a matriz 4times4 cujas entradas são todas iguais a 1. Então
[T]^2 =l(tfrac12Jr)^2 =tfrac14,J^2 =tfrac14,(4J) =;J =;2!cdottfrac12J =;2,[T]
Há um fator de 2 aí, mas notice que se tivesse sido tfrac14J em vez de tfrac12J, obteríamos [T]^2=[T]. Em todo caso, o enunciado implicitamente quer que T seja projeção ortogonal, então tomamos
[T]=tfrac14J Longrightarrow [T]^2=[T]

Passo 3

Supondo então T^2=T e T^T=T, definimos P=T e Q=I-T. Temos
PQ = (I-T)T = T - T^2 = T - T = 0 Longrightarrow QP=0

Passo 4

Para qualquer pinP3, escrevemos
p = T(p) + l(p - T(p)r) com T(p)inIm,T,; p-T(p)inker T
O produto interno satisfaz então
lang<=,p - T(p),,T(p)rang<= =lang<= Qp,,Pprang<= =p^T Q^T P,p =p^T(QP),p = p^T0,p =0

Resposta

Para todo pinP3 vale
lang<=,p - T(p),,T(p)rang<= = 0,
logo T(p) e p-T(p) são ortogonais.

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