Verifique que o conjunto W de todos os vetores de R^4 cujas segunda e quarta coordenadas são iguais a zero e a terceira é 43 da primeira é um subespaço vetorial de R^4.

Passo 1

O enunciado define
W = (x1,x2,x3,x4)inR^4 mid x2=0,;x4=0,;x3=tfrac43x1
Para mostrar que W é subespaço vetorial de R^4, vamos verificar:
  1. Wneqemptyset (contém o vetor zero).
  2. Fechamento em soma: se u,vin W, então u+vin W.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar: se uin W e lambdainR, então lambda uin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) está em W. Como
0=0,;0=0,;e;0=tfrac43cdot 0,
seguem-se as três condições, logo (0,0,0,0)in W. Portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Sejam
u=(u1,0,tfrac43u1,0) e v=(v1,0,tfrac43v1,0)
dois vetores em W. Então
u+v =(u1+v1,;0+0,;tfrac43u1+tfrac43v1,;0+0) =(u1+v1,;0,;tfrac43(u1+v1),;0),
e este também satisfaz as três condições de W. Logo u+vin W.

Passo 4

Seja lambdainR e
u=(u1,0,tfrac43u1,0)in W
Então
lambda u =(lambda u1,;lambdacdot 0,;lambdacdot tfrac43u1,;lambdacdot 0) =(lambda u1,;0,;tfrac43(lambda u1),;0),
que também obedece x2=0, x4=0 e x3=tfrac43x1. Assim lambda uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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