Verifique que
lang<= x, yrang<==x^T(llll 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) y
é um produto escalar em R^4.

Passo 1

O enunciado define, para x,yinR^4,
lang<= x,yrang<= = x^T 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 y,
ou seja, lang<= x,yrang<= = x^T I y. Para ser um produto escalar em R^4 precisamos verificar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade em cada argumento significa que, para quaisquer x,z,yinR^4 e quaisquer escalares alpha,beta, vale
lang<= alpha x + beta z,;yrang<= = (alpha x + beta z)^T I,y = alpha,x^T I,y + beta,z^T I,y = alpha,lang<= x,yrang<= + beta,lang<= z,yrang<=
De modo análogo, para o segundo argumento, usa-se que
lang<= x,;alpha y+beta wrang<= = x^T I,(alpha y+beta w) = alpha,x^T I,y + beta,x^T I,w = alpha,lang<= x,yrang<= + beta,lang<= x,wrang<=

Passo 3

Simetria exige que lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=. De fato,
lang<= x,yrang<= = x^T I,y = y^T I^T x = y^T I,x = lang<= y,xrang<=,
pois I^T = I.

Passo 4

Positividade definida quer dizer que lang<= x,xrang<= >=0 para todo x, com igualdade só se x=0. Temos
lang<= x,xrang<= = x^T I,x = sumi=1^4 xi^2 >= 0,
e de fato sumi=1^4 xi^2=0 implica xi=0 para todo i, ou seja, x=0.

Resposta

Como todas as propriedades (bilinearidade, simetria e positividade definida) estão satisfeitas, lang<= x,yrang<= = x^T I y é de fato um produto escalar em R^4.

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