Verifique que o conjunto V formado pelos polinômios em P3 cujos coeficientes são todos iguais é um subespaço vetorial de P3.

Passo 1

O enunciado está em P3, o espaço dos polinômios de grau <=3 com coeficientes em R. Definimos
V = ,p(x)=a + a x + a x^2 + a x^3 mid ainR
Para provar que V é subespaço vetorial de P3, vamos usar o critério clássico de subespaço, que exige:
1. O polinômio zero pertence a V.
2. Se p,qin V, então p+qin V.
3. Se pin V e lambdainR, então lambda pin V.

Passo 2

Mostramos que o polinômio zero está em V. Tomando a=0 em
p(x)=a + a x + a x^2 + a x^3,
obtemos o polinômio zero
p(x)=0 + 0x + 0x^2 + 0x^3,
cujo coeficiente é igual em todos os termos. Portanto, 0in V.

Passo 3

Fechamento em relação à soma. Sejam
p(x)=a + a x + a x^2 + a x^3 e q(x)=b + b x + b x^2 + b x^3
com a,binR. Então
(p+q)(x)=(a+b) + (a+b)x + (a+b)x^2 + (a+b)x^3,
ou seja, os coeficientes de p+q são todos iguais a a+b. Logo p+qin V.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação escalar. Seja lambdainR e
p(x)=a + a x + a x^2 + a x^3
Então
(lambda p)(x)=lambda a + lambda a,x + lambda a,x^2 + lambda a,x^3,
cujo coeficiente comum é lambda a. Logo lambda pin V.

Resposta

V é subespaço vetorial de P3.

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