Verifique que o conjunto
formado pelos polinômios em
cujos coeficientes são todos iguais é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado está em
, o espaço dos polinômios de grau
com coeficientes em
. Definimos
Para provar que
é subespaço vetorial de
, vamos usar o critério clássico de subespaço, que exige:
. O polinômio zero pertence a
.
. Se
, então
.
. Se
e
, então
.
Passo 2
Mostramos que o polinômio zero está em
. Tomando
em
obtemos o polinômio zero
cujo coeficiente é igual em todos os termos. Portanto,
.
Passo 3
Fechamento em relação à soma. Sejam
com
. Então
ou seja, os coeficientes de
são todos iguais a
. Logo
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação escalar. Seja
e
Então
cujo coeficiente comum é
. Logo
.