Considere a aplicação
definida como
. Abaixo segue a resolução que verifica se esta aplicação é uma transformação. Assinale, em cada uma das etapas, se a resolução está correta, ou, incorreta. Para as respostas incorretas, apresente a forma correta de resolução, se caso o axioma se verifique. Caso o axioma não se verifique, apresente um contraexemplo (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão.
).
Considere o vetor nulo do espaço vetorial
, ou seja,
. Então, temos que:
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
Considere
e
, sendo
. Então, tem-se que:
Portanto,
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
Considere
, sendo
. Então, tem-se que:
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
Considere o vetor nulo do espaço vetorial
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Forma Correta de Resolução/Contraexemplo: | |||||
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Forma Correta de Resolução/Contraexemplo: | |||||
Considere
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Forma Correta de Resolução/Contraexemplo: | |||||
É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR |
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Forma Correta de Resolução/Contraexemplo: |
Passo 1
O enunciado define
e apresenta quatro verificações de axiomas de transformação linear. Nosso objetivo é, para cada etapa, assinalar “Correta” ou “Incorreta” e, se estiver incorreta, dar a forma certa de resolução ou um contraexemplo.
Passo 2
Verificação do vetor nulo:
O autor calcula
O autor calcula
mostrando que o vetor nulo é preservado.
Classificação: Correta.
Classificação: Correta.
Passo 3
Verificação da aditividade:
O autor afirma que
O autor afirma que
e erra ao expandir
como
.
Forma correta: para ,
,
Forma correta: para
Contraexemplo numérico:
,
.
Classificação: Incorreta.
Passo 4
Verificação da homogeneidade:
O autor obtém
O autor obtém
Isso mostra corretamente que
salvo nos casos triviais
ou
.
Classificação: Correta.
Classificação: Correta.
Passo 5
Conclusão “É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR”:
Como falha tanto em aditividade quanto em homogeneidade, essa conclusão é errada.
Contraexemplo simples de não linearidade:
Como falha tanto em aditividade quanto em homogeneidade, essa conclusão é errada.
Contraexemplo simples de não linearidade:
Classificação: Incorreta.
Resposta
Etapa 1: Correta
Etapa 2: Incorreta
Etapa 3: Correta
Etapa 4: Incorreta
Em particular, não é transformação linear.
Etapa 2: Incorreta
Etapa 3: Correta
Etapa 4: Incorreta
Em particular,