Considere a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida como T(x, y)=\left(x^{2}, y^{2}\right). Abaixo segue a resolução que verifica se esta aplicação é uma transformação. Assinale, em cada uma das etapas, se a resolução está correta, ou, incorreta. Para as respostas incorretas, apresente a forma correta de resolução, se caso o axioma se verifique. Caso o axioma não se verifique, apresente um contraexemplo (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 \mathrm{pto} ).
Considere o vetor nulo do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}, ou seja, v=(0,0). Então, temos que: T(v)=T(0,0)=\left(0^{2}, 0^{2}\right)=(0,0)
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
Considere u=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v=\left(x_{2}, y_{2}\right), sendo u, v, \in \mathbb{R}^{2}. Então, tem-se que: \begin{aligned} & T(u+v)=T\left(\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=T\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)=\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2},\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}\right)= \\\ & =\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)=\left(x_{1}^{2}, y_{1}^{2}\right)+\left(x_{2}^{2}, y_{2}^{2}\right)=T\left(x_{1}, y_{1}\right)+T\left(x_{2}, y_{2}\right)=T(u)+T(v) \end{aligned}
Portanto, T(u+v)=T(u)+T(v)
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
Considere u=(x, y), sendo u \in \mathbb{R}^{2}. Então, tem-se que: \begin{aligned} & T(\alpha u)=T(\alpha(x, y))=T(\alpha x, \alpha y)=\left((\alpha x)^{2},(\alpha y)^{2}\right)=\left(\alpha^{2} x^{2}, \alpha^{2} y^{2}\right)=\alpha^{2}\left(x^{2}, y^{2}\right)= \\\ & =\alpha^{2} T(x, y)=\alpha^{2} T(u) \\\ & \text { Portanto, } T(\alpha u) \neq \alpha T(u) \end{aligned}
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:
É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
( ) Correta
Incorreta
Forma Correta de Resolução/Contraexemplo:

Passo 1

O enunciado define
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x^2,y^2)
e apresenta quatro verificações de axiomas de transformação linear. Nosso objetivo é, para cada etapa, assinalar “Correta” ou “Incorreta” e, se estiver incorreta, dar a forma certa de resolução ou um contraexemplo.

Passo 2

Verificação do vetor nulo:
O autor calcula
T(0,0)=(0^2,0^2)=(0,0),
mostrando que o vetor nulo é preservado.
Classificação: Correta.

Passo 3

Verificação da aditividade:
O autor afirma que
T(u+v)=T(u)+T(v)
e erra ao expandir (x_1+x_2)^2 como x_1^2+x_2^2.
Forma correta: para u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2),
T(u+v) =T(x_1+x_2,y_1+y_2) =\bigl((x_1+x_2)^2,\,(y_1+y_2)^2\bigr)
=\bigl(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2,\;y_1^2+2y_1y_2+y_2^2\bigr) \neq(x_1^2+x_2^2,\;y_1^2+y_2^2) =T(u)+T(v).
Contraexemplo numérico: u=(1,1), v=(1,1).
T(u+v)=T(2,2)=(4,4),\quad T(u)+T(v)=(1,1)+(1,1)=(2,2).
Classificação: Incorreta.

Passo 4

Verificação da homogeneidade:
O autor obtém
T(\alpha u) =T(\alpha x,\alpha y) =\bigl((\alpha x)^2,(\alpha y)^2\bigr) =(\alpha^2x^2,\alpha^2y^2) =\alpha^2T(x,y) \neq\alpha\,T(u)\quad(\text{em geral}).
Isso mostra corretamente que T(\alpha u)\neq\alpha T(u) salvo nos casos triviais \alpha=0 ou \alpha=1.
Classificação: Correta.

Passo 5

Conclusão “É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR”:
Como falha tanto em aditividade quanto em homogeneidade, essa conclusão é errada.
Contraexemplo simples de não linearidade:
u=(1,0),\;v=(1,0)\quad\Longrightarrow\quad T(u+v)=T(2,0)=(4,0)\neq(2,0)=T(u)+T(v).
Classificação: Incorreta.

Resposta

Etapa 1: Correta
Etapa 2: Incorreta
Etapa 3: Correta
Etapa 4: Incorreta
Em particular, T não é transformação linear.

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