Sejam A=\{(1,-1),(0,1)\} e B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, se T(x, y)=(x+y, x, y) determina a matriz transformação [T]_{B}^{A} (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y) = (x+y,\;x,\;y),
a base do domínio A = \{(1,-1),\;(0,1)\} e a base do contradomínio
B = \{(1,1,0),\;(0,1,1),\;(1,0,1)\}.
Queremos a matriz de T relativa à base A no domínio e à base B no contradomínio, ou seja [T]_{B}^{A}. Para isso, calculamos as imagens dos vetores de A e expressamos cada uma em coordenadas na base B.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores de A:
T(1,-1) = (1+(-1),\,1,\,-1) = (0,1,-1),
T(0,1) = (0+1,\,0,\,1) = (1,0,1).

Passo 3

Expressamos (0,1,-1)\) como combinação linear dos vetores de \(B\). Queremos \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1\,(1,1,0) \;+\; c_2\,(0,1,1) \;+\; c_3\,(1,0,1) \;=\;(0,1,-1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1 + c_3 = 0,\\\ c_1 + c_2 = 1,\\\ c_2 + c_3 = -1. \end{cases}
Daí obtemos
c_1 = 1,\quad c_2 = 0,\quad c_3 = -1.
Portanto, as coordenadas de T(1,-1)\] na base \(B são (1,0,-1).

Passo 4

Expressamos (1,0,1)\) em \(B\). Procuramos \(d_1,d_2,d_3\) tais que \[d_1\,(1,1,0) \;+\; d_2\,(0,1,1) \;+\; d_3\,(1,0,1) \;=\;(1,0,1).
O sistema correspondente é
\begin{cases} d_1 + d_3 = 1,\\\ d_1 + d_2 = 0,\\\ d_2 + d_3 = 1. \end{cases}
Resolvendo, encontramos
d_1 = 0,\quad d_2 = 0,\quad d_3 = 1.
Assim, as coordenadas de T(0,1)\] na base \(B são (0,0,1).

Passo 5

A matriz [T]_{B}^{A} tem como colunas essas coordenadas, na ordem dos vetores de A. Logo
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

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