Sejam A=\{(1,-1),(0,1)\} e B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, se T(x, y)=(x+y, x, y) determina a matriz transformação [T]_{B}^{A} (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).
a base do domínio A = \{(1,-1),\;(0,1)\} e a base do contradomínio
B = \{(1,1,0),\;(0,1,1),\;(1,0,1)\}.
Queremos a matriz de T relativa à base A no domínio e à base B no contradomínio, ou seja [T]_{B}^{A}. Para isso, calculamos as imagens dos vetores de A e expressamos cada uma em coordenadas na base B.
Passo 2
Calculamos as imagens dos vetores de A:
T(1,-1) = (1+(-1),\,1,\,-1) = (0,1,-1),
T(0,1) = (0+1,\,0,\,1) = (1,0,1).
Passo 3
Expressamos (0,1,-1)\) como combinação linear dos vetores de \(B\). Queremos \(c_1,c_2,c_3\) tais que
\[c_1\,(1,1,0) \;+\; c_2\,(0,1,1) \;+\; c_3\,(1,0,1) \;=\;(0,1,-1).