Determine o núcleo N(T) da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+4 y+z)
Em seguida, determine a base de N(T) (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo N(T) da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z) = (\,x + 2y - 3z,\;2x + 5y - 4z,\;x + 4y + z\,).
O núcleo N(T) é o conjunto de vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z) = (0,0,0). Para encontrá-lo, precisamos resolver o sistema homogêneo associado e, em seguida, extrair uma base do espaço solução.

Passo 2

Impondo T(x,y,z)=(0,0,0), obtemos o sistema
\begin{cases} x + 2y - 3z = 0,\\\\ 2x + 5y - 4z = 0,\\\ x + 4y + z = 0. \end{cases}

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e iniciamos a eliminação de Gauss:
\bigl[\,A\mid\mathbf{0}\bigr] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & \vline & 0\\\\ 2 & 5 & -4 & \vline & 0\\\\ 1 & 4 & 1 & \vline & 0 \end{bmatrix}.

Passo 4

Aplicamos as operações:
R 2 \leftarrow R 2 - 2 \cdot R 1 e R 3 \leftarrow R 3 - R 1.
Isto produz
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & \vline & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \vline & 0\\\\ 0 & 2 & 4 & \vline & 0 \end{bmatrix}.
Em seguida, R 3 \leftarrow R 3 - 2 \cdot R 2, ficando
\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & \vline & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \vline & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{bmatrix}.

Passo 5

Da segunda equação temos
y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -2z.
Da primeira equação, substituindo y, vem
x + 2(-2z) - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 4z - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 7z.
O parâmetro livre é z=t\in\mathbb{R}. Logo
(x,y,z) = (7t,\,-2t,\,t) = t\,(7,-2,1).

Passo 6

Concluímos que
N(T) = \{\,t\,(7,-2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}
é uma reta em \mathbb{R}^3 de dimensão 1. Uma base de N(T) é o vetor que gera essa reta.

Resposta

N(T)=\{(7t,-2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Uma base de N(T) é \{(7,-2,1)\}.

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