4(1,0 pontos ) .Considere as conicas definidas a seguir:
\mathcal{C}_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+4 y^{2}+2 x-12 y+6=0\right\}
C_{2}=\left\{(x, y) \in R^{2} ; 9 x^{2}-y^{2}-36 x-2 y+44=0\right\}
a)Determine as equacoes canonicas de C_{1} e C_{2}
b)Determine os elementos das cónicas C_{1} e C_{2}
sua excentricidade e as assintotas.

Passo 1

O enunciado dá duas cônicas em forma geral e pede (a) as equações canônicas e (b) os elementos de cada cônica (centro, vértices, focos, excentricidade e, no caso da hipérbole, assíntotas). Para isso vamos completar quadrados em x e y para passar de cada equação geral para sua forma padrão.

Passo 2

Começando por \mathcal{C}_{1}:
x^{2}+4y^{2}+2x-12y+6=0.
• Em x: x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1.
• Em y: 4y^{2}-12y=4\bigl(y^{2}-3y\bigr)=4\bigl((y-\tfrac32)^{2}-\tfrac94\bigr)=4(y-\tfrac32)^{2}-9.
Substituindo:
(x+1)^{2}-1 + 4(y-\tfrac32)^{2}-9 + 6 =0 \;\Longrightarrow\; (x+1)^{2}+4(y-\tfrac32)^{2}-4=0 \;\Longrightarrow\; \frac{(x+1)^{2}}{4}+\frac{(y-\tfrac32)^{2}}{1}=1.

Passo 3

Elementos de \mathcal{C}_{1}:
Centro \;(-1,\tfrac32).
Semieixos: a=2 (maior), b=1.
Excentricidade:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt3, \quad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt3}{2}.
Vértices (eixo maior horizontal):
(-1\pm a,\;\tfrac32)=(-1\pm2,\;\tfrac32)= (1,\tfrac32)\,,\;(-3,\tfrac32).
Focos:
(-1\pm c,\;\tfrac32)=(-1\pm\sqrt3,\;\tfrac32).

Passo 4

Agora \mathcal{C}_{2}:
9x^{2}-y^{2}-36x-2y+44=0.
• Em x: 9x^{2}-36x=9\bigl(x^{2}-4x\bigr)=9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)=9(x-2)^{2}-36.
• Em y: -y^{2}-2y= -\bigl(y^{2}+2y\bigr)= -\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=-(y+1)^{2}+1.
Substituindo:
9(x-2)^{2}-36 \;-\;(y+1)^{2}+1 \;+\;44=0 \;\Longrightarrow\; 9(x-2)^{2}-(y+1)^{2}+9=0 \;\Longrightarrow\; (y+1)^{2}-9(x-2)^{2}=9 \;\Longrightarrow\; \frac{(y+1)^{2}}{9}-\frac{(x-2)^{2}}{1}=1.

Passo 5

Elementos de \mathcal{C}_{2} (hipérbole vertical):
Centro \;(2,-1).
Semi-distâncias: a=3 (eixo transverse vertical), b=1.
Cálculo de c:
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}.
Vértices (na direção y):
(2,\;-1\pm a)=(2,\;-1\pm3)=(2,2)\,,\;(2,-4).
Focos:
(2,\;-1\pm c)=(2,\;-1\pm\sqrt{10}).
Assíntotas (reta passando por (2,-1) e com coeficiente angular \pm\tfrac{a}{b}=\pm3):
y+1 = 3(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=3x-7,
y+1 = -3(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=-3x+5.

Resposta

a) Equações canônicas
\mathcal{C}_{1}:\;\frac{(x+1)^{2}}{4}+\frac{\bigl(y-\tfrac32\bigr)^{2}}{1}=1, \qquad \mathcal{C}_{2}:\;\frac{(y+1)^{2}}{9}-\frac{(x-2)^{2}}{1}=1.
b) Elementos
Para \mathcal{C}_{1} (elipse):
Centro (-1,\tfrac32).
Semieixos a=2, b=1.
Vértices (1,\tfrac32), (-3,\tfrac32).
Focos \bigl(-1\pm\sqrt3,\tfrac32\bigr).
Excentricidade e=\tfrac{\sqrt3}{2}.
Para \mathcal{C}_{2} (hipérbole):
Centro (2,-1).
Vértices (2,2), (2,-4).
Focos \bigl(2,-1\pm\sqrt{10}\bigr).
Excentricidade e=\tfrac{\sqrt{10}}{3}.
Assíntotas y=3x-7 e y=-3x+5.

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