Verifique se aplicação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida como T(x, y, z)=(z, x+y) é uma transformação linear (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 \mathrm{pto} ).
Condição 1) T(0)=0
Condição 2) T(u+v)=T(u)+T(v)
Condição 3) T(\alpha u)=\alpha T(u)

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z) = (\,z,\;x+y\,)
e pede para verificar as três condições de linearidade:
  1. \;T(0)=0,
  2. \;T(u+v)=T(u)+T(v),
  3. \;T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Passo 2

Verificamos T(0)=0. O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Logo
T(0,0,0) = \bigl(\,0,\;0+0\bigr) = (0,0),
que é o vetor zero em \mathbb{R}^2. Portanto, T(0)=0.

Passo 3

Verificamos a aditividade T(u+v)=T(u)+T(v). Seja
u=(x_{1},y_{1},z_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2},z_{2}).
Então
u+v = (\,x_{1}+x_{2},\;y_{1}+y_{2},\;z_{1}+z_{2}\,)
e
T(u+v) = \bigl(\,z_{1}+z_{2},\;(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\bigr) = (\,z_{1}+z_{2},\;x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}\,).
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (\,z_{1},\;x_{1}+y_{1}\,)+(\,z_{2},\;x_{2}+y_{2}\,) = \bigl(\,z_{1}+z_{2},\;x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}\bigr).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificamos a homogeneidade T(\alpha u)=\alpha\,T(u). Para \alpha\in\mathbb{R} e u=(x_{1},y_{1},z_{1}),
\alpha\,u = (\alpha x_{1},\;\alpha y_{1},\;\alpha z_{1}) \quad\Longrightarrow\quad T(\alpha u) = \bigl(\,\alpha z_{1},\;\alpha x_{1}+\alpha y_{1}\bigr) = \alpha\,(z_{1},\,x_{1}+y_{1}) = \alpha\,T(u).

Resposta

A aplicação T satisfaz as três condições de linearidade e, portanto, é uma transformação linear.

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