e \mathcal{B} a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(a) (1 ponto) Mostre que T é um operador linear;
(b) ( 1 ponto) Determine a matriz do operador T na base \mathcal{B};
(c) ( 0,5 ponto) Determine o polinômio característico p(\lambda) de T na base \mathcal{B};
(d) (0,5 ponto) Determine os autovalores de T;
(e) (1 ponto) Determine os autoespaços de T.
e pede: (a) mostrar que T é linear, (b) achar a matriz de T na base canônica \mathcal{B}, (c) calcular o polinômio característico p(\lambda), (d) obter os autovalores e (e) determinar os autoespaços. Para isso vamos usar definição de operador linear, representação matricial em base canônica, determinante de A-\lambda I e resolução de sistemas homogêneos.
Passo 2
Para ver que T é linear basta checar as duas propriedades:
Aditividade:
Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) são vetores em \mathbb{R}^3, então
(a) T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u), logo é linear.
(b) \displaystyle [T]_{\mathcal{B}}
=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&2&0\\\ -1&1&2\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle p(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)^2.
(d) Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=2 (multiplicidade 2).
(e) Os autoespaços são \displaystyle E_{1}=\Span\{(1,-2,3)\} e \displaystyle E_{2}=\Span\{(0,0,1)\}.