Considere a aplicaçāo
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(x, 2 x+2 y,-x+y+2 z)
e \mathcal{B} a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(a) (1 ponto) Mostre que T é um operador linear;
(b) ( 1 ponto) Determine a matriz do operador T na base \mathcal{B};
(c) ( 0,5 ponto) Determine o polinômio característico p(\lambda) de T na base \mathcal{B};
(d) (0,5 ponto) Determine os autovalores de T;
(e) (1 ponto) Determine os autoespaços de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (x,\;2x+2y,\;-x+y+2z)
e pede: (a) mostrar que T é linear, (b) achar a matriz de T na base canônica \mathcal{B}, (c) calcular o polinômio característico p(\lambda), (d) obter os autovalores e (e) determinar os autoespaços. Para isso vamos usar definição de operador linear, representação matricial em base canônica, determinante de A-\lambda I e resolução de sistemas homogêneos.

Passo 2

Para ver que T é linear basta checar as duas propriedades:
  1. Aditividade:
    Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) são vetores em \mathbb{R}^3, então
T((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)) =T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) =(x_1+x_2,\;2(x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;-x_1-x_2+y_1+y_2+2(z_1+z_2))
que se separa em
(x_1,2x_1+2y_1,-x_1+y_1+2z_1)+(x_2,2x_2+2y_2,-x_2+y_2+2z_2) =T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2).
  1. Homogeneidade:
    Para escalar \alpha\in\mathbb{R},
T\bigl(\alpha(x,y,z)\bigr) =T(\alpha x,\alpha y,\alpha z) =(\alpha x,\;2\alpha x+2\alpha y,\;-\alpha x+\alpha y+2\alpha z) =\alpha\,(x,2x+2y,-x+y+2z) =\alpha\,T(x,y,z).
Logo T é operador linear.

Passo 3

Na base canônica \mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}, as colunas da matriz de T são T(e_1),T(e_2),T(e_3).
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,2,-1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(0,2,1),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,0,2).
Portanto
[T]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar o polinômio característico usamos
p(\lambda)=\det\bigl([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 2 & 2-\lambda & 0\\\\ -1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha (único elemento não-nulo em posição (1,1)),
p(\lambda)=(1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\\ 1&2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\,(2-\lambda)^2.

Passo 5

Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0, ou seja
1-\lambda=0\implies \lambda=1, \qquad (2-\lambda)^2=0\implies \lambda=2\\ (\text{multiplicidade }2).

Passo 6

Para cada autovalor \lambda\) resolvemos \(\bigl([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\bigr)v=0\). \(\lambda=1\): \[[T]-I=\begin{pmatrix} 0&0&0\\\ 2&1&0\\\ -1&1&1 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} 2x+y=0,\\\\ -x+y+z=0 \end{cases} \implies y=-2x,\;z=3x.
Assim o autoespaço é
E_{1}=\{(x,-2x,3x)\colon x\in\mathbb{R}\} =\Span\{(1,-2,3)\}. (\lambda=2]:
[T]-2I=\begin{pmatrix} -1&0&0\\\ 2&0&0\\\ -1&1&0 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} -x=0,\\\\ 2x=0,\\\\ -x+y=0 \end{cases} \implies x=0,\;y=0,\;z\text{ livre}.
Logo
E_{2}=\{(0,0,z)\colon z\in\mathbb{R}\} =\Span\{(0,0,1)\}.

Resposta

(a) T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u), logo é linear.
(b) \displaystyle [T]_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&2&0\\\ -1&1&2\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle p(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)^2.
(d) Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=2 (multiplicidade 2).
(e) Os autoespaços são \displaystyle E_{1}=\Span\{(1,-2,3)\} e \displaystyle E_{2}=\Span\{(0,0,1)\}.

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