(1 ponto) Mostre que se o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} de vetores de \mathbb{R}^{n} é LI, entāo o mesmo ocorre com o conjunto \{\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}-\vec{w},-\vec{v}+\vec{w}\}.

Passo 1

O enunciado afirma que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\subset\mathbb{R}^n é um conjunto linearmente independente. O objetivo é mostrar que o conjunto \{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{w},\,-\vec{v}+\vec{w}\}
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que resulte no vetor zero só pode ter coeficientes todos nulos.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a(\vec{u}+\vec{v}) \;+\; b(\vec{u}-\vec{w}) \;+\; c(-\vec{v}+\vec{w}) \;=\;\vec{0}.

Passo 3

Ao distribuir e agrupar termos iguais temos
a\vec{u}+a\vec{v}+b\vec{u}-b\vec{w}-c\vec{v}+c\vec{w} \;=\; (a+b)\,\vec{u}\;+\;(a-c)\,\vec{v}\;+\;(c-b)\,\vec{w}\;=\;\vec{0}.

Passo 4

Como \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente independente, os coeficientes da combinação acima devem ser todos zero. Logo, formamos o sistema
\begin{cases} a+b = 0,\\\ a-c = 0,\\\ c-b = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema: da terceira equação c=b. Da segunda segue a=c=b. Substituindo em a+b=0 b+b=0, ou seja b=0. Logo a=0 e c=0.

Resposta

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que \{\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{w},\,-\vec{v}+\vec{w}\}
é um conjunto linearmente independente.

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